第9章 系统的状态变量分析.ppt

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1、第9章系统的状态变量分析9.1系统状态方程与输出方程9.2状态方程、输出方程的时域求解方法9.3状态方程、输出方程的变换求解方法9.1系统状态方程与输出方程9.1.1状态变量与状态方程的基本概念9.1.2状态方程、输出方程的建立方法9.1.3系统的可控性和可观察性9.1.1状态变量与状态方程的基本概念状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即：（1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统）和一阶差分方程组（离散系统）；（2）输出方程，它描述了系统的

2、响应与状态变量和激励的关系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时变系统和非线性系统。一般而言，动态系统在某一时刻的状态，是描述该系统所必须的数目最少的（设为n）一组数，根据这组数和时的给定输入就可唯一地确定在的任意时刻的状态；根据在时刻t的状态和时刻t的输入就能唯一地确定在时刻t的任一输出值。动态系统的状态变量是描述状态随时间变化的一组变量，通常选取动态元件（连续系统）、延时元件（离散系统）的状态作为系统的状态变量，它们在时刻的值就成了系统在该时刻的状态。状态变量方程简称为状态方程，它是用状态变量和

3、激励表示的一组独立的一阶微分方程；而输出方程是用状态变量和激励表示的代数方程组。通常，又将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。需要指出，状态变量的选择并不是唯一的，对同一个系统，选不同的状态变量，可得出不同的状态方程。若将连续时间变量ｔ换为离散时间变量ｋ，则可适用于离散系统。设一个系统有ｎ个状态变量，用这ｎ个状态变量作分量构成向量，就称之为该系统的状态向量。状态向量的所有可能值的集合称为状态空间。系统在任意时刻的状态都可用状态空间的一点来表示。设有一个多输入－多输出连续时间系统如图9.1-1所示。它的p个输入为；其个输出为；将系统的n个状态变量记作。由于在连

4、续时间系统中，状态变量是连续时间函数，因此对因果系统，在任意瞬间，状态变量的导数是状态变量和输入的函数，写为：图9.1-1多输入－多输出连续时间系统(9.1-1)式中是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，它们都是常数。用矩阵形式表达为(9.1-2)式中(9.1-3)(9.1-4)分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵，其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为控制矩阵。如果系统有q个输出，那么，它们中的每一个都是用状态变量和激励表示的代数方程，其矩阵形式可写为(9.1-5)上式可简记为(9.1-6)式中是输出矢量。而(9.1-7)

5、(9.1-8)分别是系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵，其中C为q×n矩阵，常称为输出矩阵,D为q×p矩阵,常称为转移矩阵。以上是线性非时变连续系统状态方程和输出方程的一般标准形式。对于线性离散时间系统状态方程和输出方程的一般标准形式，与线性非时变连续系统类似，只不过线性非时变连续系统中状态方程由一阶线性微分方程组表达，在线性离散时间系统中状态方程由一阶线性差分方程组表达；输出方程均为代数方程组。根据电路网络直接列写系统状态方程和输出方程时，对于线性非时变连续系统，通常选取动态元件状态作为系统的状态变量；对于线性位移不变离散系统，通常选取延时元件的状态作

6、为系统的状态变量。例如，在图9.1-2（a）只含电容的回路中，根据KVL，图9.1-2（a）中任意一个电容电压都能由其余两个电容电压求得，因而若选电容电压为状态变量，则它们之中只有两个是独立的，三个电容电压中只能选其中之二为独立的状态变量。在图9.1-2(b)只含电容和理想电压的回路。显然，根据KVL，两个电容电压中只能选其中之一为独立的状态变量。(a)(b)图9.1-2只含电容的回路又例如，在图9.1-3（a）只含自感的节点（或割集），或只含自感和理想电流的节点（割集），任一电感电流都能由其余两个电流得出，因而若选电感电流为状态变量，则它们中只有两个是独立的,三个

7、电感电流中只能选其中之二为独立的状态变量。在图9.1-3(b)只含电感和理想电流的节点，两个电感电流中只能选其中之一为独立的状态变量。(a)(b)图9.1-3只含自感的节点9.1.2状态方程、输出方程的建立方法研究系统的状态变量分析，首先要建立系统的状态方程和输出方程。建立状态方程的方法大致可分为直接法和间接法两种类型。直接编写法是根据给定的电路网络、系统的信号流图（系统框图）直接列出状态方程和输出方程。间接法是根据系统的输入-输出方程、系统函数得到状态方程和输出方程。电路网络状态方程和输出方程的直接编写，对于线性非时变连续系统，通常选取动态元件状态（各积分器输