系统的状态变量分析

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1、第7章系统的状态变量分析7.1状态变量与状态方程7.2连续时间系统状态方程的建立7.3离散时间系统状态方程的建立7.4连续时间系统状态方程的求解7.5离散时间系统状态方程的求解7.6系统的可控制性与可观测性7.1状态变量与状态方程7.1.1系统用状态变量描述的基本术语1．状态状态可理解为事物的某种特征。状态发生了变化就意味着事物有了发展和变化，所以状态是划分阶段的依据。系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动，必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。状态通常可以用一个数（变量）或

2、一组数来描述。2．状态变量状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值，则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时系统中的任何运动状态。需要指出的是，通常系统中这样一组变量并不一定是唯一的。3．状态向量将n阶系统中的n个状态变量λ1(t)，λ2(t)，…，λn(t)，排成一个n×1阶的列矩阵λ(t)，即此列矩阵λ(t)即称为n维状态向量，简称状态向量。由状态变量的定义可知，当λ(t0)及系统的输入给定时，λ(t)便可唯一的被确定。4．初始状态状态变量在某一时刻t0的值称为系统在t0时刻的状态。即λ(t)=［λ1(t

3、0)λ2(t0)…λn(t0)］T(7―1)状态变量在t0=0－时刻的值称为系统的初始状态或起始状态。即λ(0-)=［λ1(0-)λ2(0-)…λn(0-)］T5．状态空间以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状态空间，或者说安放状态向量的空间即称为状态空间。状态向量在状态空间n个坐标轴上的投影即相应为n个状态变量。6．状态轨迹在描述一个动态系统的状态空间中，状态向量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的

4、输入作用下系统内部的动态过程。7.1.2系统的状态变量描述1．状态方程对于一个有m个输入f1(t)，f2(t)，…，fm(t)，L个输出y1(t)，y2(t)，…，yL(t)的连续时间系统(如图7.1所示),假设能充分描述该系统的n个状态变量为λ1(t)λ2(t)，…，λn(t)，则每个状态变量在任何时刻t的一阶导数可表示为该时刻的n个状态变量和m个输入的一个函数，即(7―2)图7.1多输入―输出连续时间系统系统的状态方程也可以用矢量矩阵的形式来表示，即(7―3)上式可简记为(7―4)2．输出方程同样，对于系统的L个输出y1(t

5、)，y2(t)，…，yL(t)，也可以用n个状态变量和m个输入的函数来表示，其矩阵形式可写为(7―5)(7―6)图7.2多输入―输出离散时间系统设有n阶多输入―输出离散系统如图7.2所示。它的m个输入为f1(k)，f2(k)，…，fm(k)，其L个输出为y1(k)，y2(k)，…，yL(k)，系统的状态变量为λ1(k)，λ2(k)，…，λn(k)。则其状态方程和输出方程可写为λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k)(7―7)y(k)=Cλ(k)+Df(k)(7―8)其中λ(k)=［λ1(k)，λ2(k)，…，λn(k)］Tf(k)=

6、［f1(k)，f2(k)，…，fm(k)］Ty(k)=［y1(k)，y2(k)，…，yL(k)］T3．状态变量分析法以状态变量为独立完备变量，以状态方程和输出方程为研究对象，对多输入多输出系统进行分析的方法，称为状态变量分析法，也称状态空间法。该方法的基本步骤是：(1)选取一组独立的、完备的状态变量；(2)列写系统的状态方程，并将其写成标准的矩阵形式；(3)求解该状态方程，得到状态向量λ(t)或λ(k)；(4)列写标准形式的输出方程，并将所求得的状态向量λ(t)或λ(k)代入其中，即得到输出向量y(t)或y(k)。4．状态变量的

7、选取用状态变量描述系统的关键是选择状态变量。一般来说，能充分描述因果动态系统的一组状态变量的选择并不是唯一的。但只要状态变量的个数是充分的，选择不同的状态变量来描述系统都是充分的。因此，如何选择合适的状态变量，主要是看其是否方便于状态方程和输出方程的编写，以及初始状态向量是否容易确定。5．状态方程的建立通常，动态系统（包括连续的和离散的）的状态方程和输出方程可以根据描述系统的输入输出方程（微分或差分方程）、系统函数、系统的模拟框图或信号流图等列出。对于电路，则可以根据电路图直接列出。7.2连续时间系统状态方程的建立7.2.1根据

8、电路图列写状态方程对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是：（1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量；（2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程，对