2、'(x)<0.因此,函数f(x)分别在x=x1,x=x4处取得极大值,选B.答案B2.(2020江西南昌高二期末)函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为( )A.-1B.0C.1D.e解析由题意,得f'(x)=aex-cosx.∵f(x)在x=0处有极值,∴f'(0)=a-cos0=a-1=0,解得a=1.经检验,满足题意,故选C.答案C3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )A.4e-1B.1C.e2D.3e2解析∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,∴令f'
3、(x)=0,解得x=-2或x=0.又当x∈[-2,1]时,ex+1>0,∴当-20.∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.答案C4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( )A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x解析∵三次函数过原点,故可设为y=x3+bx2+cx,∴y'=3x2+2
4、bx+c.又x=1,3是y'=0的两个根,∴1+3=-2b3,1×3=c3,解得b=-6,c=9.∴y=x3-6x2+9x.又y'=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),∴当x=1时,f(x)极大值=4,当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件,故选B.答案B5.(2020山东省山东师范大学附中高三月考)函数f(x)=x+2cosx在区间[0,π]上的最大值为( )A.2B.3+π6C.3+5π6D.π-2解析f'(x)=1-2sinx,x∈[0,π].令f'(x)>0,解得x<π6或x>5π6,令f'(x)<0,解得π6<
5、x<5π6,∴函数f(x)在0,π6和5π6,π上单调递增,在π6,5π6上单调递减,∴f(x)的极大值为fπ6=3+π6,f(x)的极小值为f5π6=5π6-3,又f(0)=2,f(π)=π-2,故所求最大值为3+π6.答案B6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b= . 解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,∴f'(1)=3,f'23=0,即3+2a+b=3,43+43a+b=0.解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.答案-27.
6、设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为 . 解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.令y'=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.答案(-∞,-1)8.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 . 解析f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x)=0,得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=
7、k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.答案-719.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.解f'(x)=3ax2+2bx+c,(1)(方法一)∵x=±1是函数的极值点,∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系,得-2b3a=0,①c3a=-1,②又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③由①②③解得a=12,b=0,c=-32.(方法二)由f'(1)=f
8、'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①3a-2b+c=0,②又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③由①②③解得a=12,b=0,c=-32.(2)由(1),知f(x)=12x3-32x,∴f'(x)=32x2-32=32(x-1)
