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《2020_2021学年高中数学第六章导数及其应用6.2.2导数与函数的极值最值课件新人教B版选择性必修第三册20201217168.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6.2.2导数与函数的极值、最值激趣诱思知识点拨“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉的用语.尼古拉认为一个事物,如果没有比它更大的事物存在,就叫做最大或极大,极大与极小是对立一致的.那么数学中“极大值”与“极小值”又是如何界定的呢?激趣诱思知识点拨一、函数的导数与极值1.极值点与极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.极
2、大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.激趣诱思知识点拨2.极值点的求法一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f'(x0)=0.名师点析求函数y=f(x)极值的步骤第1步,求导数f'(x).第2步,求方程f'(x)=0的所有实数根.第3步,考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是
3、极值.激趣诱思知识点拨微思考1(1)函数是否一定存在极值?若存在,是否是唯一的?(2)极大值是否一定比极小值大?(3)函数的极值点是否可以出现在区间的端点?提示:(1)在一个给定的区间上,函数可能存在若干个极值,也可能不存在极值;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.(2)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.(3)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不符合极值点的定义.激趣诱思知识点拨微思考2(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗?(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗?提示:(1
4、)不一定,例如对于函数f(x)=x3,虽有f'(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的极值点,要使导数为0的点成为极值点,还必须满足其他条件.(2)不一定,例如函数f(x)=
5、x-1
6、,它在x=1处取得极小值,但它在x=1处不可导,就更谈不上导数等于0了.但对可导函数来说,极值点处的导数值一定等于0.激趣诱思知识点拨二、函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.名师点析求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤第1步,求f(x)在开区间(a,b)内所有使f'(x)=0的点.第2步,计算函数f(x)在区间(a,b)内使f'(x)=0的所有点
7、和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.激趣诱思知识点拨微思考函数极值与最值有什么联系与区别?提示:(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况,是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较,具有绝对性.(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值最多只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常函数就没有极大值,也没有极小值.(3)极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得.有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极
8、值有可能成为最值,最值只要不是在端点处取到,则一定是某个极值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用导数求函数的极值例1求下列函数的极值:(1)f(x)=1+3x-x3;(3)f(x)=x2e-x.思路分析按照求极值的方法,首先从方程f'(x)=0入手,求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)函数定义域为R,且f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0,得x=±1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘-1
9、↗3↘所以f(x)在x=-1处取极小值-1,在x=1处取极大值3.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(3)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗4e-2↘从表中可以看出,当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0;当x=2时,函数有极大值
