充分利用课本例习题，有效培养学生探究意识.doc

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1、充分利用课本例习题，有效培养学生探究意识襄阳三中陈显宏　课本是学生知识资源的依据，课本中的例题、习题是学生务必要掌握的，因考虑到教学的阶段性要求，课本中的例题一般或体现某个定理（公式）的应用，或体现某种解题（思想）方法，具有基础性和示范性，有利于学生模仿、操练。笔者以为，适时、适度地对课本例题（习题）进行拓展，值得提倡。通过拓展，建立联系，整合知识，提炼思想方法，有利于学生开阔视野，学会借鉴，学会欣赏，激活其思维发散。本文就人教社《全日制普通高级中学教科书·数学》例题（习题）来具体地谈谈如何拓展。问题1：（人教版新课程教材第一册（上）第129页练习4）已知数列是等比数列，是其前ｎ项的和．

2、（1）求证：成等比数列．（2）设成等比数列吗？引导探究：若使用等比数列前n项的和的公式来证明问题，不仅要对q的取值情况进行讨论，而且变形及运算也较繁，不妨先研究、及之间的关系．由，同理，得，从而，，由等比数列的性质可知，7为奇数、、，、成等比数列，类似可以证明也成等比数列．引申：设等比数列的公比为q，前n项的和,那么．证明：．公式揭示了一个等比数列的几个前若干项的和的内在联系，公式形式简单，易懂易记，但用该公式证明有关等比数列前n项和的某些问题时，却有独到之处，使用等比数列前n项的和的公式，对q的取值情况有时需要讨论，而使用本公式却无此之虑，因此该公式有化难为易，避繁就简之效，而且解题过

3、程别具一格，令人耳目一新．应用举例1（（人教版新课程教材第一册（上）第129页习题7）：已知数列是等比数列，是其前ｎ项的和，、、成等差数列，求证：成等比数列．证明：由已知得，即，，，又，成等比数列．利用公式证明本题，不需要对ｑ的取值情况进行讨论，在证明中，正、逆两次使用公式，使证明过程自然而流畅．应用举例2已知数列是等比数列，是其前ｎ项的和，若，求公比．解析：由题意，只需利用公式，将，分别化为，然后清去得到一个关于ｑ的方程，解方程求出ｑ即可．由，得，，，，，，．应用举例3（2005，全国卷1，文），设正项等比数列的首项，前ｎ项的和为，且，求的通项．解析：由已知得，即，由已知，，，于是．公

4、式中，ｍ、ｎ的取值非常灵活，在使用公式时，要注意选择恰当的数值，本题在证明过程中，采用，两个变换，可尽快地化简式子，迅速解决问题．用该公式还可以推导等比数列的前n项的和公式．（１）当时，有；（２）当时，，．综上，．上述推导过程只用到了等比数列前n项的和的意义，通俗简捷，在学习了教材上介绍的“乘公比相减法”求等比数列的前n项的和的公式后，顺便介绍本公式和上面的求的方法，对加深对等比数列意义的理解，是很有帮助的！在一题多解的拓展中，学生们可看到不同知识块间的相关性（有利于形成知识链），还可以看到不同人思维的差异（从别人的思维中获得启迪），还可看到建立在独立思考基础上的合作交流意义重大。在一题

5、多用，一题多变的拓展中，学生们看到了多题一法，看到了特殊与一般的转化，在拓展的过程中，学生们的情感体验也在变化：或感叹于我怎么没想到，或惊叹数学的神奇，或陶醉于心理的积极暗示——下一次，我也要多想想，多试试。不难看出，这样的拓展是对已有资源更充分的利用，对学生探究意识和能力的形成具有很大的促进作用。问题2（人教版新课程教材第二册上75页例2）：已知圆的方程是x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的圆的切线方程．引申一：若圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2,那么经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程还是x0x＋y0y＝r2吗？下面我们来探求过点M(x0，y0)的圆的切线方

6、程．方法一：用例2的方法(利用点斜式方程求解)，可求得过点M(x0，y0)的圆的切线方程为（x0－a）x＋(y0－b)y＋ax0＋by0＝r2，显然不是x0x＋y0y＝r2．yOMPCx图1方法二：利用平面向量求解．设P（x，y）为切线上的任意一点（如图1），则＝（x0－a，y0－b）,=(x－x0，y－y0)，由⊥得（x0－a，y0－b）·(x－x0，y－y0)＝0，即（x0－a）(x－x0)＋(y0－b)（y－y0)＝0，展开整理得（x0－a）x＋(y0－b)y＋ax0＋by0＝r2，显然不是x0x＋y0y＝r2．引申二：若点M(x0，y0)不在⊙O：x2＋y2＝r2上，而在⊙O外，

7、直线L：x0x＋y0y＝r2还是过点M(x0，y0)的⊙O的切线吗？若不是，它与⊙O的位置关系如何？它是一条怎样的直线？P2MxyP1Oa图２引导探究：（1）∵M在圆外，∴

8、OM

9、>r，即x02＋y02＞r2．设圆心到直线L的距离为d，则d＝，∴d