第29届俄罗斯一道奥赛试题的推广.doc

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1、第29届俄罗斯一道奥赛试题的推广第29届俄罗斯一道奥赛试题如下：设a、b、c为正数，它们的和等于1，求证：++≥++本文旨在借助于柯西(Cauchy)不等式证明其推广定理，同时将指出，该试题乃是本文定理的一个特殊情形，颇为新颖有趣。定理１：设a、b、c、m＞0，且a+b+c=m则++≥++证明：∵a、b、c、m＞0，且a+b+c=m①由①可得：=，=及=，上面等式两两相加并应用柯西不等式知：+=+≥=②+=+≥③+=+≥④由②+③+④得：2(++)≥4(++)⑤由⑤得：++≥++⑥特别是，当m=1时，应用本定理可得：推论：设a，b，c＞0，

2、且a+b+c=1则：++≥++这里要指出的是，这个推论即是俄罗斯一道奥赛试题，可见本文定理乃是该试题的一个推广，在下将把定理1再向前推进一步即是：定理2，设a，b，c，d，m＞0，且a+b+c+d=m，则+++≥+++证明：∵a，b，c，d，m＞0，且a+b+c+d=m①应用柯西不等式可知：+=+≥=②3+=+≥③+=+≥④+=+≥⑤此四不等式相加并除以2即得：+++≥+++⑥特别是：当m=1时，应用定理2可得：推论：设a，b，c，d＞0，且a+b+c+d=1，则+++≥+++这里尚需指出的是，定理2更进一步的推广即是如下结果：定理3，设a

3、1，a2...an，m>0且+...=m(n≥3)则有：++...+≥++...+证明：因a1，a2...an，m＞0，n≥3为正整数，且a1+a2+...+an=m①应用柯西(Cauchy)不等式可得：＋≥＋≥,...＋≥＋≥注意到，上面n个不等式相加可得：2(++...+)≥4（++....+）②3由②同除以2得：++...+≥++....+）③特别是，当n=3，m=1时，应用定理3可得：推论：设a1，a2，a3＞0，且a1+a2+a3=1则++≥++,若a1=a,a2=b,a3=c应用此推论可知++≥++.应当指出的是，这个定理3的推

4、论也即是俄罗斯一道奥赛试题，可见定理3亦为该试题的一个推广。主要参考资料１、毛良忠：巧用柯西不等式的变式解一类公式问题，数学通讯　2008(13)；3