挖掘课本习题，培养创新能力.doc

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1、挖掘课本习题，培养创新能力——对一道课本习题的探究400714重庆市北碚区江北中学刘伟华师八年级(上)课本第106页有这样一道题目：菱形ABCD的边AB长为5cm，一条对角线AC长为6cm，求菱形的周长和面积．图1　　解：如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设AC＝6cｍ，AB＝5cｍ．　　在Rt△AOB中，AO=AC=×6=3（cm），AB=5cｍ，　　∴（cm）．　　∴菱形的周长L菱形ABCD=4AB=20（cm）.　　菱形的面积S菱形ABCD=4S△AOB=4×AO·BO=24

2、（cm2）．反思一：我们发现，菱形的对角线AC=6cｍ，BD=2BO=8cｍ，菱形的面积正好等于它的两条对角线乘积的一半，这是不是巧合？菱形的面积是不是一定等于它的两条对角线乘积的一半？探究一：以上题为例，我们知道菱形的面积：S菱形ABCD=4S△AOB=4×AO·BO．而AO=AC，BO=BD，∴于是我们得到菱形面积的计算公式：菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半．如果设菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积S菱形=ab．运用这个公式，可以快速计算菱形的面积．图2　　例1　已知如图2，菱形A

3、BCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积．　　解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO=×120°=60°．　　在Rt△AOB中，∠ABO=90°-∠BAO=30°．　　∴AO=AB=×2=1（cm）．（cm）．　　∵AO=AC，BO=BD，∴AC=2AO=2（cm），BD=2BO=（cm）．　　∴S菱形ABCD=AC·BD=（cm2）．　　反思二：我们再回过头来再想一想，平行四边形和矩形的面积能不能等于两条对角线乘积的一半呢？为什么菱

4、形的面积等于两条对角线乘积的一半？　　探究二：我们知道，平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直，通过比较，我们可以大胆猜想：菱形的面积之所以等于两条对角线乘积的一半，是因为菱形的对角线互相垂直．那么是不是对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半呢？　　如图3，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O．　　∵AC⊥BD，∴S△ACD=AC·DO，S△ACB=AC·BO．　　∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=AC·DO+AC·BO　　

5、=AC（DO+BO）=AC·BD．于是我们得到：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。菱形的面积公式S菱形=ab就是它的一种特殊情形．运用对角线互相垂直的四边形的面积公式可以巧解某些与面积有关的问题．　　例2　如图4，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1、B1、C1、D1分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果A1B1=4，A1D1=5，那么四边形ABCD的面积为__________．　　解：由三角形中位线定理，得A1B1=AC，A1D1=BD．　　∴AC=2A1B1=

6、8，BD=2A1D1=10．　　又四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，　　∴S四边形ABCD=AC·BD=×8×10=40．