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1、第一讲相交线与平行线一、知识要点：平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。（一）、相交线1．两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。（形成邻补角、对顶角）2．垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。3、能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角。（二）平行线1、在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。2、并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定
2、定理和性质定理。3、利用平行公理及其推论证明或求解。4、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：（1）由角定角已知角的关系两直线平行确定其他角的关系.（2）由线定线已知两直线平行角的关系确定其他两直线平行.二、例题精讲题型一相交线的交点问题例1已知平面上199条直线的交点的最大数是P，求P的值一点就通：任意两条直线均相交，任意三条直线不共点时交点数最大。解方法小结:n条直线两两相交，交点最多有题型二相交线的对顶角问题例2O为平面上一点，过O在平面上引2015条不同的直线则可形成对以O为顶点
3、的对顶角。一点就通：每两直线相交构成两对对顶角，n条直线每两条的组合有解：方法小结:n条直线相交于一点可以构成n(n-1)对对顶角题型三n条直线最多分平面多少部分问题例399条直线最多可分平面多少部分？一点就通：从特殊到一般去探究解方法小结:n条直线最多分平面部分5题型四“三线八角”的识图与计数问题例4在平面上4条直线两两相交，且无三线共点，求一共有多少对同旁内角？一点就通：2条直线被第3条直线所截，才能出现同旁内角。因为3条直线都可以为截线，故有6对同旁内角。而4条直线任选3条直线，则有4种情形解24对题型五：平行线的判定与性
4、质问题已知AB∥CD,连结AB、CD的折线内折或外折探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?一点就通：已知AB∥CD,连结AB、CD的折线内折或外折；或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变
5、其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形。解：(1)∠B+∠D=∠E;(2)AB∥CD;(3)∠B+∠E+∠D=360°;(4)∠E+∠D=∠B;(5)∠E+∠G=∠B+∠F+∠D;(6)∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.题型六：通过平移解决问题例6平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于一点就通：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。证明：平面上n条直
6、线两两相交最多得对顶角×2＝n(n-1)对，即2n(n-1)个角平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动过点O，成为交于一点O的n条直线，这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：a1、a2、a3、…、a2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。若这2n个角均大于，则a1+a2+a3+…+a2n＞2n×=360°,5而a1+a2+a3+…+a2n=360°,产生矛盾故 a1、a2、a3、…、a2n中至少有一个小于，
7、即 原来的2n(n-1)中至少有一个角不小于.三、巩固练习巩固练习1巩固练习1如图1共有多少个长方形（包括正方形）巩固练习3巩固练习2乘火车从北京到上海，共有25站（包括北京和上海在内），那么共需准备多少种不同的车票？巩固练习3如图2中三角形的个数为多少？巩固练习4巩固练习4：已知：如图1，DE∥CB，求证：∠AED=∠A+∠B.巩固练习5巩固练习5：已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G.5巩固练习6.如图,已知AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,证明:β=2α.(第12届“希望杯”邀请赛试
8、题)巩固练习6巩固练习7：平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。四、巩固练习答案巩固练习1答案：60巩固练习2答案：600巩固练习3答案：24巩固练习4．证明：过E作EF∥BA∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）DE∥CB，EF
