2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修4.doc

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1、1．4.3　正切函数的性质与图象内　容　标　准学　科　素　养1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．2.掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.应用直观想象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第29页[基础认识]知识点一　正切函数的性质阅读教材P42～44，思考并完成以下问题根据诱导公式二、三及正切线，可得出正切函数哪些性质？(1)由正切函数的定义得出定义域是什么？提示：.(2)由公式二tan(π＋x)＝tanx，可得出y＝tanx的什么性质？提示：周期性．(3)由公式三tan(－x)＝－t

2、anx可得出y＝tanx的什么性质？提示：是奇函数．(4)当x大于－且无限接近－时，正切线AT趋近________．当x小于且无限接近时，正切线AT趋近________．可得y＝tanx的值域为________．提示：－∞　＋∞　R知识梳理　函数y＝tanx的性质.定义域值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在开区间k∈Z内都是增函数思考　正切函数在整个定义域内是增函数吗？提示：不是．知识点二　正切函数的图象思考并完成以下问题如何根据正切线作正切函数的图象？(1)利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？提示：①作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．②

3、把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．③描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．④连线，得到如图①所示的图象．①⑤根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tanx，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．②(2)我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tanx，x∈的简图吗？怎样画？提示：能，三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－.知识

4、梳理　(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考　正切函数y＝tanx的对称中心坐标是什么？提示：k∈Z.[自我检测]1．比较大小：tan________tan.答案：>2．函数y＝tanx的值域是________．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第29页探究一　正切函数的定义域、值域问题[阅读教材P44～45例6]方法步骤：整体思想．[例1]　(1)函数y＝3tan的定义域为________；[解析]　－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠－π－4kπ，k∈Z.[答案]　(

5、2)函数y＝tan，x∈的值域是________．[解析]　当－0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”

6、，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.(3)求含有正切函数的复合函数的值域(或最值)的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解．延伸探究　1.将本例(1)变为y＝tan2x，其定义域为________．解析：2x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠π＋，k∈Z.答案：2．将本例(2)变为：求y＝tan，x∈的值域．解析：y＝tan＝－tan.∵x∈，∴2x－≤.由正切函数的单调性质，得0≤tan≤，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0]．3．将本例(3)增加条件，x∈，其他条件不变，求值域．解析：∵t＝tanx，x∈，∴t∈[－1

7、，1]y＝(t＋2)2－5，在t∈[－1，1]上为增函数．当x＝－1，ymin＝－4，当x＝1时，ymax＝4，∴值域为[－4，4]．探究二　正切函数的单调性问题[阅读教材P44例6]角度1　求正切函数的单调区间[例2]　求函数y＝3tan的单调递减区间．[解析]　y＝3tan＝－3tan，由kπ－<－

8、3°<18