高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、1.4.3　正切函数的性质与图象正切函数的性质　　[提出问题]问题1：正切函数y＝tanx的定义域是什么？提示：.问题2：诱导公式tan(π＋x)＝tanx说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tanx的关系怎样？提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tanx(k∈Z)．问题3：诱导公式tan(－x)＝－tanx说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性．问题4：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．问题5：从正切线上观察，正切函数值在上是增大的吗？提示：是的．[导入新知]正切函数的性质函数y＝tanx定义域值域R周期T＝π奇偶性奇函数单调性

2、在每个开区间(k∈Z)上都是增函数[化解疑难]细解正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是xx∈R且x≠＋kπ，k∈Z，值域是全体实数．(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期是T＝.若不知ω正负，则该函数的最小正周期为T＝.(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．正切函数的图象[提出问题]问题1：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？提示：过单位圆与x正半轴的交点A，作垂直于x轴的直线，交角的终边或其反向延长线于点T，则有向线段AT即为

3、该角的正切线．问题2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？提示：能．[导入新知]正切函数的图象(1)正切函数的图象：(2)正切函数的图象叫做正切曲线．(3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．[化解疑难]正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与x轴有无数个交点，因此有无穷多个对称中心，对称中心坐标是，k∈Z，正切函数的图象无对称轴.正切函数的定义域、值域问题[例1]　求下列函数的定义域和值域：(1)y＝tan；(2)y＝.[解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为

4、xx≠kπ＋，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由－tanx≥0得，tanx≤.结合y＝tanx的图象可知，在上，满足tanx≤的角x应满足－a的不等式的步骤：[活学活用]求函数y＝的定义域．答案：正切函数的单调性及应用[例2]　(1)求函数y＝tan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小．[解]

5、　(1)由kπ－－tan，即tan>tan.[类题通法]1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ

6、[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．[活学活用]1．比较tan1，tan2，tan3的大小．答案：tan2

7、定义域为，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．[类题通法]与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．[活学活用