高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案设计 新人教A版必修4.doc

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1、第一章　三角函数1.4　三角函数的图象与性质1.4.3　正切函数的性质与图象学习目标1.掌握正切函数的性质及其应用;2.理解并掌握作正切函数图象的方法;3.体会类比、换元、数形结合等思想方法.学习过程【问题激趣导学】1.画出下列各角的正切线:2.复习相关诱导公式tan(x+π)=　　　　;tan(-x)=　　　　. 【基础知识再现】探究一　正切函数的性质1.正切函数的定义域　　　　. 2.正切函数的周期性由诱导公式tan(x+π)=　　　　,可知函数y=tanx(x≠+kπ,k∈Z)是　　　　函数,且它

2、的周期是　　　　. 3.正切函数的奇偶性因为tan(-x)=　　　　,所以正切函数y=tanx(x≠+kπ,k∈Z)是　　　　函数. 4.正切函数的单调性由图(Ⅰ)(Ⅱ)(课本P43)正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-)内是　　　　函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间　　　　内都是增函数. 5.正切函数的值域由图(Ⅰ)可知,当x大于-且无限接近于-时,正切线AT向y轴的负方向无限延伸;由图(Ⅱ)可知,当x小于且无限接近于时,正切线AT向y轴的正方向无限延伸.因此,y=tanx在(-)内

3、可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是　　　　. 探究二　正切函数的图象1.利用正切线画出y=tanx,x∈(-)的图象.2.根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R且x≠+kπ(k∈Z)的图象,称“正切曲线”.3.如何快速作出正切函数的简图?4.根据图象讨论验证正切函数的性质.【探究成果展示】【例1】求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.【例2】解不等式tanx≥.【例3】求函数y=的定义域.【例4】比较tan与tan的大小.【课

4、堂练习】1.求函数y=tan3x的定义域、值域和单调增区间.2.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围:(1)tanx>0;(2)tanx=0;(3)tanx<0.【学习小结】达标检测1.函数y=tan3πx的最小正周期是(　　)A.B.C.D.2.函数y=tan(-x)的定义域是(　　)A.{x

5、x∈R且x≠-}B.{x

6、x∈R且x≠}C.{x

7、x∈R且x≠kπ-,k∈Z}D.{x

8、x∈R且x≠kπ+,k∈Z}3.下列不等式中正确的是(　　)A.tanπ>tanπB.tanπ

9、(-π)

10、tanx

11、的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.参考答案问题激趣导学1.(略)2.tan(x+π)=tanx;tan(-x)=-tanx,x∈R且x≠+kπ,k∈Z【基础知识

12、再现】探究一　正切函数的性质1.{x

13、x≠+kπ,k∈Z}2.tanx(x∈R,且x≠+kπ,k∈Z)　奇　π3.-tanx(x∈R,且x≠+kπ,k∈Z)　奇4.增　(-+kπ,+kπ),k∈Z5.R探究二　正切函数的图象1.2.3.只需作出(-)上的图象,进行平移即可.4.(略)【探究成果展示】【例1】解:令x++kπ,k∈Z,得x≠+2k,k∈Z,所以函数y=tan(x+)的定义域为{x

14、x≠+2k,k∈Z}.周期T==2.令-+kπ

15、=tan(x+)的单调增区间为(-+2k,+2k),k∈Z.【例2】解:因为tanx≥,所以tanx≥tan,因为y=tanx在(-)上单调递增,所以在(-)上,tanx≥的解集为[).又因为y=tanx是周期为π的周期函数,所以tanx≥的解集为[+kπ,+kπ),k∈Z.【例3】解:由题意得tanx≠1,即x≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z,所以函数y=的定义域为{x

16、x≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z}.【例4】解:因为tan=tan∈(-),且y=tanx在(-)上单调递增,所以tan

17、an

18、x≠π,k∈Z},值域为R;单调增区间为(-π,π),k∈Z.2.解:(1)(kπ,+kπ),k∈Z;(2){x

19、x=kπ,k∈Z};(3)(-+kπ,kπ),k∈Z.【学习小结】1.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而本节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础