2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案含解析新人教A版必修4.doc

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1、3．1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1　两角差的余弦公式内　容　标　准学　科　素　养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.直观想象数学运算逻辑推理授课提示：对应学生用书第72页[基础认识]知识点　两角差的余弦公式阅读教材P124～127，思考并完成以下问题如何用α，β的正、余弦值来表示cos(α－β)呢？(1)计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋

2、sin45°sin45°＝__________；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________．猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝________，即______________________________．提示：①1＝cos0°　②＝cos30°　③0＝cos90°　④＝cos60°　cos(α－β)　cos(α－β)＝

3、cosαcosβ＋sinαsinβ(2)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？提示：A(cosα，sinα)、B(cosβ，sinβ)，∠AOB＝α－β.(3)·＝________．提示：·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.·＝

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7、cos∠AOB＝cos(α－β)．知识梳理　C(α－β)：cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β．思考　(1)对任意α，β都有cos(α－β)＝cos

8、α－cosβ吗？提示：不是．(2)存在α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ吗？提示：存在．[自我检测]1．计算coscos＋cossin的值是(　　)A．0　　　　　　　　　　　B.C.D.答案：C2．已知α是锐角，sinα＝，则cos＝________．答案：授课提示：对应学生用书第73页探究一　正用两角差的余弦公式求值[教材P126～127例1、例2]方法步骤：(1)构造两角差；(2)按公式展开，代入求值．1．给角求值[例1]　cos(－15°)的值是(　　)A.　　　　　　　B.C.D.[解

9、析]　cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝，故选D.[答案]　D跟踪探究　1.＝________．解析：原式＝＝＝cos15°＝.答案：2．给值求值[例2]　已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)．[解析]　∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－.又β在第三象限且cosβ＝－，∴sinβ＝－.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝－＝－.延伸探究　若把例题改为：已知sinα

10、＝，α∈，cos(α＋β)＝－，α＋β为第三象限角，求cosβ.解析：由题意得cosα＝－，sin(α＋β)＝－.cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×－×＝－.方法技巧　正用公式cos(α－β)，即展开：常把某一角写为两角差的形式，如：15°＝45°－30°或15°＝60°－45°，α＝(α＋β)－β，2β＝(α＋β)－(α－β)等．跟踪探究　2.已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．解析：∵α，β∈且cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴

11、α＋β∈(0，π)，∴sinα＝＝，sin(α＋β)＝＝.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.又∵β∈，∴β＝.探究二　逆用公式求值[教材P132练习5(2)题]求cos72°cos12°＋sin72°sin12°的值．解析：cos72°cos12°＋sin72°sin12°＝cos(72°－12°)＝cos60°＝.[例3]　求下列各式的值．(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋2

12、5°)；(2)sin20°cos110°＋cos160°sin70°；(3)sin＋cos.[解析]　(1)原式＝cos[α－35°－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝.(2)原式＝－cos70°cos70°－sin70°sin70°＝－cos(70°－70°)＝－1.(3)原式＝2＝2＝2cos＝2cos＝2×＝.方法技巧　逆用公式C(α－β)，即“合并”使之成为“差角”余弦，为