课时分层作业16空间向量及其线性运算共面向量定理.docx

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1、课时分层作业(十六)空间向量及其线性运算共面向量定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．下列命题中，假命题是________(填序号)．→→①若AB与CD共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；②只有零向量的模等于0；③共线的单位向量都相等．[解析]①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误．[答案]③2．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.[解析]要注意共面向量定理给

2、出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．[答案]②③→1→3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP＝5OA＋2→→＋λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.3OB【导学号：71392161】[解析]→→→∵P与A，B，C共面，∴AP＝αAB＋βAC，第1页→→→→→→→→→→→∴AP＝α－＋β－OA)，即＝＋α－α＋β－β＝(OBOA)(OCOPOAOBOAOCOA(1→→→122－α－β)OA＋αOB＋βOC，∵1－α－

3、β＋α＋β＝1.∴5＋3＋λ＝1，解得λ＝15.[答案]215→→4．如图3-1-8，已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为→E，F，则EF＝________(用向量a，b，c表示)．图3-1-8[解析]设G为BC的中点，连接EG，FG，则→→→1→1→EF＝EG＋GF＝2AB＋2CD11＝2(a－2c)＋2(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.[答案]3a＋3b－5c．如图，平行六面体1111中，E，F分别在B1和1上，53-1-9ABCD-ABCDBDD12→→→→且BE＝3BB1，DF＝3DD1，若EF＝xAB＋yAD＋

4、zAA1，则x＋y＋z＝________.图3-1-9→→→→→→→→2→→1→→[解析]EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋3DD1－AB－3BB1＝AD→1→11－AB＋3AA1，∴x＝－1，y＝1，z＝3，∴x＋y＋z＝3.[答案]136．如图3-1-10，在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，→1→3→→则AB＋2BC－2DE－AD化简的结果为________．图3-1-10[解析]∵E为△BCD的重心，第2页2→3→∴DE＝3DF，DF＝2DE.→1→3→→→→→3→∴AB＋2BC－2DE－AD＝AB＋BF－AD－2DE→→3→→3→＝AF

5、－AD－2DE＝DF－2DE＝0.[答案]0．，，是三个不共面的向量，→→→k＝i－2j＋2k，BC＝2i＋j－3k，CD＝λi7ijAB＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________.【导学号：71392162】[解析]→→→若A，B，C，D四点共面，则向量AB，BC，CD共面，故存在不全为零的实数a，b，c，→→→使得aAB＋bBC＋cCD＝0，即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.∵i，j，k不共面，a＋2b＋λc＝0，∴－2a＋b＋3c＝0，2a

6、－3b－5c＝0，a＝c，∴b＝－c，λ＝1.[答案]18．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；第3页→→→③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；→→→④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题是________(填序号)．[解析]由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．[答案]①③二、解答题．如图111→1→，1中，ABCD是平行四边形．若AE＝93-1-11所示，ABCD-ABCD2EC→→

7、→→→→A1F＝2FD，若AB＝b，AD＝c，AA1＝a，试用a，b，c表示EF.图3-1-11→→→[解]如图，连接AF，则EF＝EA＋AF.由已知ABCD是平行四边形，→→→→→→故AC＝AB＋AD＝b＋c，A1D＝A1A＋AD＝－a＋c.→→→→→→→→1→1由已知，A1F＝2FD，∴AF＝AD＋DF＝AD－FD＝AD－3A1D＝c－3(c－a)1＝3(a＋2c)，→1→1→→→又EA＝－3AC＝－3(b＋c)，∴EF＝EA＋AF111＝－3(b＋c