数学中的推理和证明.ppt

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1、数学中的推理和证明一、数学中的推理1.推理的意义和结构从一个或几个已知的命题得到一个新命题的思维形式叫做推理.其中，已知的命题叫做前提（或条件），得到的新命题叫做结论.在形式逻辑中，常把一个推理形式表示为：或“前提→结论”例如：所有的矩形对角线相等黑人是黑头发都是由两个前提得到一个结论的推理.如果舍弃了前提与结论中的命题的具体内容，仅保留其逻辑结构，便得到抽象的推理形式.以上两例的推理形式分别是：由三段论知识可知，第一个推理形式是正确的，第二个推理形式是错误的.一个正确的推理，必须是推理的前提真实、推理的形式有效.如：因为负数大于0，-5是负数，所以-5大于0.因为整数

2、是有理数，分数是有理数，所以整数是分数.前提不真实推理的形式错误所以，它们都不是正确的推理.2.推理的规则凡是正确的推理形式，就是推理规则.规则1：若p∧q真，则p真；若p∧q真，则q真.即：（p∧q）→p;（p∧q）→q.规则2：若p→q真，且p真，则q真.即：（p→q）∧p→q.规则3：若p→q真，且p真，则q真.即：（p→q）∧p→q.规则4：若p∨q真，且p真，则q真.即：（p∨q）∧p→q.同样有：（p∨q）∧q→p.规则5：若p→q真，且q→r真，则p→r真.即：（p→q）∧（q→r）（p→r）.规则6：若集合A中的每一个元素x都具有属性F，则集合A的任一非

3、空子集B中的每一个元素y，也具有属性F.即：这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则，是作为公理提出来的，它保证了由全称命题为真可以推出相应的特称命题为真.二.推理的种类1.演绎推理演绎推理，又称演绎法，又称为论证推理，它是思维进程中从一般到特殊的推理.演绎推理主要有三段论、关系推理、联言推理、选言推理、假言推理和模态推理等推理模式.一般特殊何为三段论？由两个前提推出一个结论的演绎推理叫做三段论.例1.任何一个自然数都大于或等于零，是自然数.所以，.例2.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是对顶角，所以，.总结：大前提＆小前提结论根据前提中命题的不同形式又可以将三段论分为

4、直言三段论和假言三段论.当三段论的两个命题都是直言命题时，这种三段论称为直言三段论.当三段论的前提中包含假言命题时，这种三段论称为假言三段论.直言命题是断定思维对象具有或不具有某种性质的命题；假言命题是有条件地断定事物的某种情况存在的命题，在数学上假言命题一般用“如果……，那么……”或者“当且仅当……，则……”这两种形式来表达.一个数学上的证明是论证推理，呈现在我们面前的科学数学是一门以论证推理为特征的演绎科学.但是，这仅仅是科学数学的一个方面，科学数学所呈现的东西已经是科学数学建造过程的尾声，是数学家创造性工作结出的果实，而在整理成这些定型的逻辑论证材料之前，有着更为

5、漫长的探索发现过程，这就是科学数学的另一个侧面——数学发现的方法之一：合情推理.合情推理一词来自于Plausiblereasoning，又译为似真推理.波利亚说：数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置.因此，波利亚曾多次呼吁——让我们教猜想吧！学习合情推理的意义——还数学的本来面目，把数学知识的学术形态的“冰冷的美丽”转化为数学知识的教育形态的“火热的思考”.数学中的合情推理主要有：归纳推理、类比推理、直觉、顿悟等.这里主要谈谈归纳推理与

6、类比推理.2.归纳推理1）定义把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，这种思维进程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称归纳法.特殊一般我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜想，它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成为真正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.归纳推理的特点：创造性较强而可靠性较弱.从具体问题或具体素材出发实验和观察经验归纳（归纳推理）推广形成普遍命题（猜想）证明归纳推理在数学创造活动中发现真理的一般过程：(反驳)2）归纳推理成功的例子物理学中的波义耳——马略特

7、定理、化学中的门捷列夫元素周期表、数学中勾股定理等等都是运用归纳推理发现真理的典型例证.波义耳—马略特定理:温度不变时，一定质量的气体的压强跟它的体积成反比.该定律对理想气体才严格成立，但可近似反映实际气体的性质.例1.凸多面体的欧拉（Euler）公式的发现道路.（P182-187王子兴）正多面体顶点数面数棱数正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体三棱锥五棱柱规律：X(P)=F+V-E=2称任一凸多面体的欧拉示性数等于2.验证：这些正多面体都满足这条规律吗？问题：证明正多面体只有五种.例2.杨辉三角形、牛顿（Newton）二项式定理