数学证明中的演绎推理与非演绎推理

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1、http://www.paper.edu.cn数学证明中的演绎推理与非演绎推理汤光霖（中国矿业大学（北京），100083）E-mail:xhatt@sina.com摘要：推理是从若干命题（前提）直接得出一个命题（结论）的思维过程。推理分为演绎推理与非演绎推理，后者被定义为：不是演绎推理的推理，它当然包括归纳推理，即归纳法。演绎推理从前提到结论的推导是用“逻辑推导”，而非演绎推理的推导是根据命题的内容之间的联系进行分析。演绎推理的前提与结论之间的关系必为数理逻辑的逻辑演算中的形式定理所反映，而非演绎推理的相应关系则不能；因此，演绎推理必遵循某个演绎推理规则，而非演绎推理则不遵循

2、任何形式的演绎规则。非演绎推理有各种不同的基本类型及以基本类型、简单演绎推理为基础的整体思维形式。非演绎推理与证明定理的方法密切相关。在数学证明中，非演义推理的主要作用是为演绎推理提供前提，因而演绎推理经常需要非演绎推理的支持。关键词：演绎推理；前提分析；逻辑推导；非演绎推理；基本类型；整体思维形式在数学证明中，非演义推理的主要作用是为演绎推理提供前提，因而演绎推理经常需要非演绎推理的支持。*请参阅“附言”（见P.24）1http://www.paper.edu.cn引言数学推理属于演绎推理，是数学工作者公认的。我是一个数学教师，也一直这样认为，因为这是数学的传统。但经过较长

3、时间的反复思考，似乎发现在数学证明中存在既不是演绎推理更不是归纳推理的推理。遂把这种推理叫做非演绎推理。在本文中列举了多个例证，并形成了一些说法，拔高一点说算是非演绎推理理论吧。由于这些说法是不难判断的，因此可以肯定是所提出的非演绎推理理论是正确的。另外需要说明一下，本文中的演绎推理是结合数学写的：例如有以下特点等。1.演绎推理的前提是从哪里来的？有的形式逻辑书中说，是由归纳法得到的。但从数学上看，我认为：从原则上说，演绎推理的前提是由对存在问题进行探索、分析、研究的结果；从方法上说，演绎推理的前提主要是由非演绎推理及已知的知识提供的。从而说明演绎推理有时需要非演绎推理的支持

4、，在稿子中有多个例子对此作了说明。2.在形式逻辑书中，一般是列举一些常用的演绎推理规则详加解说，但对如何从前提推导结论却少见说明。在本文中，根据数学推理的经验，明确提出由前提推导结论的一般推导方法——“逻辑推导”，并对数学中的演绎推理的传统推导形式作了说明。3.数理逻辑基础是研究其中的形式推理，从而研究非形式的演绎推理。哥德尔完备性定理正是体现这种研究的结果。在本文中以通俗易懂的方式概括地介绍了这个定理，并着重阐明它对演绎推理的重要理论意义，同时提出演绎推理的判定准则。一个推理是否为演绎推理是有客观标准的，不能根据传统推理习惯说：是或不是。由于考虑到推理关系到诸多科学领域，为

5、了方于阅读，本文仅选择了书籍中一个初等代数问题及三个微积分定理作为例证进行讨论。另外，本文用到一点逻辑知识，并同时作了说明，不假定阅读需先有逻辑知识。因为上述原因，本文中的数学起点是很低的，虽然如此，这不应影响对下列事实的认可：即非演绎推理理论揭示了在数学证明中的本已存在但尚未认知的一种重要的基本推理，并且它还可能是另一种关于认知的基本方法。我们知道演绎推理与归纳法是公认的认知世界的两种基本方法。水平有限，不妥之处难免，敬请批评指正！2http://www.paper.edu.cn（一）演绎推理由于“演绎推理是数学的基本特征”，因此，结合数学对数学证明中的演绎推理进行全面思考

6、、系统阐述，可能还是有意义的。简单地说，演绎推理就是从前提通过推导得出结论。演绎推理的作用在于从已知的知识得到未知的知识。为了适应数学中的演绎推理形式的要求，说法可以具体一些，例如把演绎①推理表达为：从前提为已知的真命题及定理（一个或几个）推出新的真命题作为结论，或从前提为已知定理（一个或几个）推出新的定理作为结论等形式。演绎推理的特点是：如果前提都真，则结论必真。由构成前提的真命题及定理必须能推出结论；换言之，不是任意的真命题及定理都能构成演绎推理的前提。在数学证明中，演绎推理的前提，即真命题及定理是从哪里来的呢？特别是从前提如何推出结论呢？推出结论又将如何呢？还有一些其他

7、问题，这些问题将在后面详细论证或说明。讨论演绎推理必须了解数理逻辑在研究演绎推理方面所获得的非常重要的成果，因为它对演绎推理有特别重要的意义。数理逻辑基础是研究其中的形式推理从而研究非形式的演绎推理。根据数理逻辑中的哥德尔完备性定理，凡是演绎推理中成立的前提与结论之间的关系，以及其对应的演绎推理[1]（P.300，P.336）规则，在数理逻辑形式推理中都能反映。[1]（PP.1-228）在下面，我们举几个演绎推理规则例子并看看它们在命题逻辑自然推理系统中的反映。例如有演绎推理规则：设A则B；若非B真，则