2020_2021学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术_几何平均不等式学案含解析新人教A版选修4_5.doc

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1、3　三个正数的算术几何平均不等式考　纲　定　位重　难　突　破1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单的实际问题.重点：1.了解三个正数的算术－几何平均不等式．2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．难点：会用不等式解决实际中的应用问题.授课提示：对应学生用书第6页[自主梳理]一、三个正数的算术—几何平均不等式1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即：三个正数的算术

2、平均不小于它们的几何平均．二、基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．[双基自测]1．已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　)A．最小值3　　　　　　　　　B．最大值3C．最小值2D．最大值2解析：∵a，b，c∈R＋，∴＋＋≥3＝3，故选A.答案：A2．已知a，b，c>0，则(＋＋)(＋＋)≥____________.解析：(＋＋)(＋＋)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号．答案：93．函数y＝x＋(x>0)的最小值为________．解析：∵x>0，

3、y＝x＋＝＋＋≥3＝，∴函数y＝x＋的最小值为.答案：授课提示：对应学生用书第6页探究一　用平均不等式证明不等式[例1]　设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)≥.[证明]　∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3>0，＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正、二定、三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定

4、理证明．连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知a，b，c∈R＋，证明：(a＋b＋c)2≥27.证明：因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c≥3>0.所以(a＋b＋c)2≥9.又＋＋≥3>0，所以(a＋b＋c)2≥3·9＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以(a＋b＋c)2≥27.探究二　用平均不等式求最值[例2]　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)(11)的最小值．[解析]　(1)∵10，x

5、－1>0，y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤()3＝()3＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x等号成立，即x＝∈(1，)时，ymax＝.(2)∵x>1，∴x－1>0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时等号成立，即ymin＝4.用平均不等式求最值的条件(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定

6、的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．　　　　2．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．解析：∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝x＋x＋y≥3＝3＝3，当且仅当＝＝y时等号成立．又∵x2y＝4.∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.探究三　平均不等式的实际应用　　[例3]　如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮

7、度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？[解析]　∵r＝，∴E＝k·(0<θ<)，①∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝，∴h＝2tanθ＝，即h＝时，E最大．∴灯的高度h为时，才能使桌子边缘处最亮．1．实际问题，应找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，且根据题意注明自变量的取值范围．如本例得

8、到的关系式