2018-2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式学案新人教A版选修4-5.doc

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1、3．三个正数的算术几何平均不等式　1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程．　2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值．3．会用平均不等式解决实际中的应用问题．,　　　　　　　　[学生用书P9])1．三个正数的算术几何平均不等式(定理3)如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意

2、n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值．(　　)(2)≥只对n＝2和n＝3的情形适用．(　　)(3)算数几何平均不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大值为(　　)A．2　　B．27C．8D．3解析：选C.因为a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝6，所以abc≤＝＝8，当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．3．函数y＝2x2＋(x∈R＋)的最小值为(　　)A．6B．7C．8D．9答案：A　用三个正数的算术几

3、何平均不等式证明不等式[学生用书P9]　已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.【证明】　因为a＞b＞c＞d，所以a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，a－d＞0，所以(a－d)＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3×3＝9，即＋＋≥，当且仅当a－b＝b－c＝c－d时，等号成立．证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不

4、等式的式子．　　1.已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.2．已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3.证明：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，所以2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，等号成立的条件是＝x－y，即x－y＝1.所以2x＋≥2y＋3.　利用三个正数的算术几何平均不等式求最值[学生用书P10]　求函数y＝x

5、＋(x>1)的最小值．【解】　因为x>1，所以x－1>0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时等号成立．即ymin＝4.用平均不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．　(2)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．　若x>0，求函数y＝4x2＋的最小值

6、．解：因为x>0，所以y＝4x2＋＝4x2＋＋≥3＝3.当且仅当4x2＝(x>0)，即x＝时，取“＝”，所以当x＝时，y＝4x2＋(x>0)的最小值为3.　应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题[学生用书P10]　如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．众所周知，灯挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯

7、光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？【解】　因为r＝，所以E＝k·(0<θ<)．所以E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·＝.当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，所以h＝2tanθ＝时，E最大．本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进行变形求得E的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用均值不等式的形式，若符合条件“一正，二定，三相等”即可求解．　　1.用

8、长度为72cm的铁丝截成12段围成一个长方体，当它的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大值是多少？解：设长、宽、高分别为x，y，z，则x>0，y>0，z>0，且4(x＋y＋z)＝72，即x＋y＋z＝18.所以体积V＝xyz≤＝＝216.当且仅当x＝y＝z＝6时，Vmax＝216.因此当长方体的长、宽、高均为6cm时，其体积最大，最大值为216cm3.2．已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为