高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术_几何平均不等式学案含解析

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1、3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理3如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式≥成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a＝b＝c.(2)定理3可变形为：①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc.(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”．2．定理3的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．用平均不等式证明

2、不等式　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥3.　欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．　＋＋＝＋－3≥3＋3－3＝6－3＝3.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．8(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．1．已知x＞0，y＞0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，

3、故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.证明：∵a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3.同理2＋aj≥3(j＝2,3，…，n)．将上述各不等式的两边分别相乘即得(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥(3)(3)…(3)＝3n·.∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.用平均不等式求最值　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．(2)求函数y＝x＋

4、(x>1)的最小值．　对于积的形式求最大值，应构造和为定值．(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．　(1)∵10，x－1>0.y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，即x＝∈时，ymax＝.(2)∵x＞1，∴x－1>0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，8当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时，等号成立．即ymin＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件即“一正、二定、三相

5、等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x>0，则f(x)＝4－x－的最大值为(　　)A．4－B．4－C．不存在D.解析：选D　∵x>0，∴f(x)＝4－x－＝4－≤4－3＝4－＝.4．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x，y的值．解：∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝x＋x＋y≥3＝3＝3.当且仅当＝＝y时，等号成立．又∵x2y＝4，∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.用平均不等式解应用题　如下图所示，在一张半径为2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯

6、．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.8这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？　→→→→　∵r＝，∴E＝k·.∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝.当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝.∴h＝2tanθ＝.即h＝时，E最大．本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进

7、行变形求得E的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，则V＝abc，S＝2ab＋2bc＋2ac.8V2＝(abc)2＝(ab)(bc)(ac)≤3＝3＝.当且仅当ab＝bc＝ac，即a＝b＝c时，上