高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式练习.docx

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1、3三个正数的算术几何平均不等式,        [学生用书P12])[A 基础达标]1.已知x为正数,下列各题求得的最值正确的是(  )A.y=x2+2x+≥3=6,所以ymin=6B.y=2+x+≥3=3,所以ymin=3C.y=2+x+≥4,所以ymin=4D.y=x(1-x)(1-2x)≤=,所以ymax=解析:选C.A,B,D在使用不等式a+b+c≥3(a,b,c∈R+)和abc≤(a,b,c∈R+)都不能保证等号成立,最值取不到.C中,因为x>0,所以y=2+x+=2+≥2+2=4,当且仅当x=,

2、即x=1时取等号.2.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(  )A.3  B.2C.12D.12解析:选C.因为x+2y+3z=6,所以2x+4y+8z≥3=3=3=12.当且仅当x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.3.函数y=x2+1+(x>0)的最小值是(  )A.3B.3C.3D.4解析:选D.由题意,y=x2+++1,因为x>0,所以y=x2+++1≥3+1=4,当且仅当x2=,即x=1时,函数取得最小值4.故选D.4.设x,y,z∈R+且x+y+z=6,则lgx+

3、lgy+lgz的取值范围是(  )A.(-∞,lg6] B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)解析:选B.因为x,y,z∈R+,x+y+z=6,所以lgx+lgy+lgz=lg(xyz)≤lg=lg23=3lg2,当且仅当x=y=z=2时,有最大值为3lg2.5.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列总成立的是(  )A.V≥πB.V≤πC.V≥πD.V≤π解析:选B.设圆柱半径为r,则圆柱的高为h=,所以圆柱的体积为V=πr2·h=πr2·=πr2(3-2r)≤π=π.当且仅

4、当r=3-2r,即r=1时取等号.6.将实数1分为三个正数之和,则这三个正数之积的最大值是________.解析:设这三个正数分别是a,b,c,则a+b+c=1,所以abc≤=,当且仅当a=b=c=时,abc取得最大值.答案:7.若a>b>0,则a+的最小值为________.解析:因为a>b>0,所以a-b>0.所以a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当,即⇒时等号成立,所以当a=2,b=1时原式有最小值3.答案:38.若实数x,y满足x,y>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是________.解

5、析:由x2y=2,得y=,代入xy+x2,得xy+x2=x·+x2=+x2=++x2≥3,当且仅当=x2,即x=1,y=2时取等号.答案:39.已知x∈R+,求函数y=x(1-x2)的最大值.解:因为y=x(1-x2),所以y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)×.因为2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,所以y2≤=.当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时,等号成立,所以

6、y

7、≤,即y的最大值为.10.设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+≥2.证明:因为a,b,c为正实

8、数,所以a3+b3+c3≥3=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+≥2,当且仅当3abc=时,等号成立.所以a3+b3+c3+≥2.[B 能力提升]1.已知正实数a,b,c满足a+b+c=1,++=10,则abc的取值范围是________.解析:由a+b+c=1可得1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ac),故有0<ab+bc+ac≤.因为++==10,所以abc=(ab+bc+ac),所以0<abc≤.答案:2.设正数a,b,c满足a+b

9、+c=1,则++的最小值为________.解析:因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥3·3=9,当且仅当a=b=c=时等号成立,即++≥1,故++的最小值为1.答案:13.设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.解:因为6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6,所以x2x3z≤1.所以x=2,y=1,z=时,x2y3z取得最大值1.4.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日

10、的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售

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