高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.3三个正数的算术几何平均不等式学案新人教a版选修4

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1、3.三个正数的算术几何平均不等式1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　三个正数的算术几何平均不等式阅读教材P8～P9定理3，完成下列问题．1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　)A．

2、最小值为3B．最大值为3C．最小值为2D.最大值为2【解析】　＋＋≥3＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，取等号．【答案】　A教材整理2　基本不等式的推广阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理3　利用基本不等式求最值阅读教材P9～P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c

3、有最小值．设x＞0，则y＝x＋的最小值为(　　)【导学号：32750012】A．2B．2C．3D.3【解析】　y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，当且仅当＝时取“＝”号．【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]证明简单的不等式　设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.【精彩点拨】　根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b＋c≥3>0，从而(a＋b＋c)2≥9>0.又

4、＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)3≥81.【导学号：32750013】【证明】　因为a，b，c为正数，所以有＋＋≥3＝＞0.又(a＋b＋c)3≥(3)3＝27abc＞0，∴(a＋b＋c)3≥8

5、1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．用平均不等式求解实际问题　如图112所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？图112【精彩点拨】　根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平

6、均不等式求函数的最值．【自主解答】　∵r＝，∴E＝k·.∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤3＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝时，等号成立．∴h＝2tanθ＝，即h＝时，E最大．因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一

7、题]2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】　设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容积为，∴πr2h＝，∴rh＝.∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3，当且仅当3r2＝时，即r＝时等号成立，此时h＝.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米．[探究共研型]利用平均不等式求最值探究1　

8、利用不等式≥求最值的条件是什么？【提示】　“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．探究