一元二次不等式及分式不等式的解法（师）.doc

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1、专题002：一元二次不等式及分式不等式的解法（师）考点要求：1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．4．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．5．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式的解法．知识结构1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的

2、交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x

3、x＞x2或x＜x1}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

4、x1＜x＜x2}∅∅说明：（1）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二

5、次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．（2）1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，

6、则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　)．A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)解析　∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集为(1,2)．答案　D2．(2011·广东)不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)．A.B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.∪(1，＋∞)解析　∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－.故原不等式的解集为∪(1，＋∞)．答案　D3．不等式9x2

7、＋6x＋1≤0的解集是(　　)．A.B.C.D．R解析　∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为.答案　B4．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝(　　)．A．－28B．－26C．28D．26解析　∵x＝－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.答案　C5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．解析　当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a≠0时，须即∴0＜a≤1，综上0≤a≤1.答案　[0,1]　　例题选讲：例1：

8、函数f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________．解析　依题意知解得∴1≤x＜3.故函数f(x)的定义域为[1,3)．答案　[1,3)总结：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．例2：求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．[审题视点]先求方程12x2－ax＝a2的根，

9、讨论根的大小，确定不等式的解集．解　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－，x2＝.①a＞0时，－＜，解集为；②a＝0时，x2＞0，解集为{x

10、x∈R且x≠0}；③a＜0时，－＞，解集为.综上所述：当a＞0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x

11、x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为.总结：解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2

12、)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例3：已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．[审题视点]