2020_2021学年高中数学第一章推理与证明1.3反证法学案含解析北师大版选修2_2.doc

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1、3　反证法授课提示：对应学生用书第7页[自主梳理]一、反证法的定义1．在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者________，我们可以先假定命题结论的________成立，在这个前提下，若推出的结果与________相矛盾，或与命题中的________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明命题结论的反面________成立，由此断定命题的结论________．这种证明方法叫作________．2．反证法是一种________证明的方法．二、反证法的证明步骤1．作出________的假设；2．进行推理，导出________；3．否定_____

2、___，肯定________．[双基自测]1．命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)A．a

3、测]1．B2．D　a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.3．C授课提示：对应学生用书第7页探究一　证明否定性命题[例1]　求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[证明]　假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根相矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两

4、个非零实数根相矛盾．综上所述，可知bc≠0.结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理．此时用反证法更方便．1．设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，求证：数列{Sn}不是等比数列．证明：假设{Sn}为等比数列，则S＝S1·S3，∴a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，与q≠0矛盾．∴{Sn}不是等比数列．探究二　证明唯一性问题[例2]　求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．[证明]　(1)存在

5、性：因为2×＋1＝0，所以－为函数f(x)＝2x＋1的零点．所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－外还有零点x0，则f＝f(x0)＝0.即2×＋1＝2x0＋1，∴x0＝－，这与x0≠－矛盾．故假设不成立，即函数f(x)＝2x＋1除－外没有零点．综上所述，函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．2．“有且只有”的含义有两层①存在性：本题中只需找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯

6、一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．2．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行．探究三　证明“至少”“至多”等问题[例3]　已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.所以a＋b＋c≤0.

7、而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c＞0.这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．3．已知x，y，z∈R，x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝，求证：x，y，z∈[0，]．证明：假设x，y，z中有负数，不妨设x<0，则x2>0，则y＋z＝1－x，y2＋z2≥，∴＝x2＋y2＋z2≥x2＋＝x2＋＝x2－x＋＝x(x－)＋.∵x<0，∴x－<0.∴x(x－)>0.∴≥x(x－)＋

8、>，矛盾．∴x，y，z中