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1、数列练习题（1）1.已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数是（）A.4009B.4010C.4011D.4012解法1：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负4011(a1+a4011)数,S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011==4011a2006<0,故n的最大值为4010.2解法2:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是
2、正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为Sn的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B.本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak+ak+1>0,且akak+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..2.设数列
3、{an}的前n项和为Sn(nN*)，关于数列{an}有下列三个命题：①若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则anan1；②若Snan2bn(a,bR)，则数列{an}是等差数列；③若Sn1(1)n，则数列{an}是等比数列.这些命题中，真命题的个数是（D）A．0B．1C．2D．3①不妨设数列{an}的前三项为ad,a,ad，则其又成等比数列，故a2a2d2，∴d0，即anan1；②由Sn的公式，可求出an(2n1)ab，故{an}是等差数列；③由Sn可求由an2(1)n1，故数列{an}是等比数列.故选D.3
4、.等差数列{an}的公差d0,且a12a112，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6D．6或7由d0,a12a112，知a1a110.∴a60，故选C．4.在数列{a}中，aaann1(2)2(nN),其中＞0，则a)n1=2,n+1=n2008=(A.2008200822008B.2007200722007C.2008200722007D.2007200822008由an+1=ann1(2)2nan12)n1an(2n1所以数列{an2n}可得n1(n-)n()a2008
5、2)200820081,则a20082007200822008,故选D.为等差数列，且公差为1，首项为0，则2008(5．由函数yf(x)确定数列{an}，anf(n),若函数yf(x)的反函数yf1(x)能确定数列{bn}，bf1(n)，则称数列{bn}是数列{an}的“反数列”．n（1）若函数f(x)2x确定数列{an}的反数列为{bn}，求bn；（2）设cn3n，数列{cn}与其反数列{dn}的公共项组成的数列为{tn}（公共项tkcpdq,k、p、q为正整数）．求数列{tn}前10项和S10；（3）对（1
6、）中{bn}，不等式1111loga(12a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的范bn1bn2b2n2围．[解]（1）f(x)2x（x0）an2n（n为正整数），f1(x)x2（x0）41n2所以数列{an}的反数列{bn}的通bn（n正整数）。4（2）cn3n，dnlog3n3plogq，q33p，有{c}{d}，tn3n3nn所以{tn}的前n和S103(3101)2（3）于（1）中{bn}，不等式化：221n2n22任意正整数n恒成立。Tn1n2n21loga(12a)2n22，2nTn1Tn222220
7、，数列{T}增，所以(T)minT11，要2n12(n1)n12n12n2nn使不等式恒成立，只要11loga(12a)∵12a0，∴0a1，12aa2，0a2122所以，使不等式于任意正整数恒成立的a的取范是：(0,21)6.(1)已知正数列{an}，其前n和Sn足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通an.22解:∵10Sn=an+5an+6，①∴10a1=a1+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10
8、an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．当a1=3，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．(2)已知数列{an}的首a13，an13an，n1
