2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.7正切函数学案含解析北师大版必修4.doc

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1、7　正切函数考　纲　定　位重　难　突　破1.理解任意角的正切函数的定义．2.能画出y＝tanx(x∈R，x≠＋kπ，k∈Z)的图像．3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．4.掌握诱导公式在求值、化简过程中的应用.重点：1.正切函数的图像与性质．2.正切函数的诱导公式．难点：正切线的理解及正切函数与正、余弦函数的区别.授课提示：对应学生用书第18页[自主梳理]1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠kπ＋(k∈Z)且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tanα.显然tanα＝.当α在一、

2、三象限时，tanα为正值；当α在二、四象限时，tanα为负值．2．正切函数的图像在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T点，则称AT为角α的正切线．四个象限内角的正切线如图．3．正切函数的性质函数y＝tanx定义域{x

3、x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}值域R周期性是周期函数，最小正周期为π奇偶性是奇函数，图像关于原点对称单调性在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数图像4.正切函数的诱导公式函数角　　y＝tanx记忆口诀kπ＋αtanα函数名不变，符号看象限2π＋αtan_α－α－tan_απ－α

4、－tan_απ＋αtan_α＋α－cotα函数名改变，符号看象限－αcotα[双基自测]1．关于正切函数y＝tanx，下列判断不正确的是(　　)A．是奇函数B．在定义域内无最大值和最小值C．在整个定义域上是增加的D．平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等答案：C2．tan210°等于(　　)A.　　B．－　　　C.　　　D．－解析：tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝.答案：A3．下面说法正确的是________．①正切线AT也可以写成TA；②正切线只能为正数；③y＝tanx，x∈(－，)的图像向上无限接近于x＝，向下无限接近于直线x＝－；④y＝t

5、anx的图像具有周期性，最小正周期为π；⑤y＝tanx的图像没有对称轴，只有对称中心，而且对称中心有无数多个．解析：正切线的字母次序不能颠倒，所以①错；正切线为正、负都有可能，甚至可能为0，所以②错；③④⑤正确．答案：③④⑤授课提示：对应学生用书第19页探究一　利用正切函数的图像[典例1]　求函数f(x)＝tan

6、x

7、的定义域与值域，并作其图像．[解析]　f(x)＝tan

8、x

9、＝(k∈Z)，可知，函数的定义域为，值域为R.当x≥0时，函数y＝tan

10、x

11、在y轴右侧的图像即为y＝tanx的图像不变；x<0时，y＝tan

12、x

13、在y轴左侧的图像为y＝tanx在y轴右侧的图像关于y

14、轴对称的图像，如图所示(实线部分)．(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移，从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±.(2)如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(

15、x

16、)及y＝

17、f(x)

18、的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(

19、x

20、)(x≤0)的图像；同理只要做出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝

21、f(x)

22、的图像．1．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的(　　)解析：在

23、上，cosx＞0，f(x)＝tanx，所以在上其图像与y＝tanx的图像相同，在和上，cosx＜0，f(x)＝－tanx，所以在这两段上其图像是y＝tanx的图像关于x轴的对称图形．答案：C探究二　正切函数的性质[典例2]　求函数f(x)＝tan的定义域、最小正周期和单调区间．[解析]　由题意，知2x－≠kπ＋(k∈Z)，所以x≠＋(k∈Z)，即函数的定义域为.由于f(x)＝tan＝tan＝f，所以最小正周期T＝.因为kπ－<2x－

24、：(1)定义域：由ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求出x的取值集合即为函数的定义域，即{x

25、x≠，k∈Z}．(2)周期性：利用周期函数的定义来求．(3)单调区间：在求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由kπ－<ωx＋φ