2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用学案含解析北师大版必修4.doc

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1、9　三角函数的简单应用考　纲　定　位重　难　突　破1.了解三角函数知识在实际生活中的应用．2.会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.重点：建立三角函数模型刻画实际问题并解决实际问题．难点：三角函数模型的选择与建立.授课提示：对应学生用书第26页[自主梳理]建立三角函数模型的步骤[双基自测]1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)A．60　　　B．70　　　　C．80　　　　D．90解析：T＝＝，∴f＝80.答案：C2.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平

2、衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)A．2πsB．πsC．0.5sD．1s解析：∵ω＝2π，∴T＝＝1.答案：D3．电流I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流是(　　)A．－5安　　　B．5安C．5安　　　　D．10安解析：由题图知A＝10，T＝，∴ω＝＝100π，把(，10)代入解析式求得φ＝.∴当t＝时，I＝10sin(100π×＋)＝－5.答案：A授课提示：对应学生用书第27页探究一　三角函数实际应用[

3、典例1]　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在64元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；(2)哪几个月能盈利？[解析]　(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得A＝2，B＝6，ω＝，φ＝－，所以f(x)＝2sin(x－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)．g(x)＝2sin(x－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．

4、(2)由g(x)＞f(x)得sinx＜，2kπ＋π＜x＜2kπ＋π，k∈Z，∴8k＋3＜x＜8k＋9，k∈Z，∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3＜x＜9，∴x＝4,5,6,7,8；k＝1时，11＜x＜17，∴x＝12.∴x＝4,5,6,7,8,12.故4,5,6,7,8,12月份能盈利．面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，这个过程并不神秘，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．1．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这

5、一段时间内温度的最大温差．(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？解析：(1)由函数易知，当x＝14时，函数取得最大值，此时最高温度为30℃，当x＝6时，函数取得最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sin＋20＝15，得sin＝－，因为x∈[4,16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，得sin＝.因为x∈[4,16]，所以x＝.故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．探究二　三角函数在物理学中的应用[典例2]　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可

6、用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解析]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝(s)时第一次取得最大值．由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7、　　　　　　　　　2．已知电流与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)，(1)如图是I＝Asin(ωt＋φ)(ω＞0，

8、φ

9、＜)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解析：(1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2(＋)＝，ω＝＝150π，又当t＝时，I＝0，即sin(150π·＋φ)＝0，∴150π·＋φ＝kπ(k∈Z)．∵

10、φ

11、＜，∴φ＝.故所求的解析式为I＝300sin(15

12、0πt＋)．(2)依题意，周期T≤，即