2015中考数学压轴题汇编.doc

《2015中考数学压轴题汇编.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1吉林24．（8分）（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？　　 1吉林解答：（1）S扇环=（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r=l1•﹣l2•=（l12﹣l22）=（l1+l2）（l1﹣l2）=••（R﹣r）（l1﹣l2）=（l1﹣l2）（R﹣r）=（l1+l2）h，故猜想正确．（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=（l1+l2）h=（40﹣2h）h=﹣h2+20h=﹣（h﹣10）2+100∵﹣1＜0，∴开口向下，有最大值，当h=10时，最大值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．点评：本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的应用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度． 2吉林六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x=_cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．　 2吉林解答：解：（1）15；（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x2②当6≤x＜12时，如图3所示．，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．重叠面积为y=S△BDG﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH，化简，得y=﹣x2+2x﹣6；③当12＜x≤15时，如图4所示．，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），重叠面积为y=S△ABC﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG，即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），化简，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；(3)点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线，NG=EF=．MB=CB=3，∠B=30°，MG=MB=，MN最小=3﹣=3吉林26．（10分）（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k=，b=； 当m=﹣2，n=3时，k=，b=；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m=，n=．3吉林解答：解：（1）当x=﹣1时，y=x2=1，则A（﹣1，1）；当x=4时，y=x2=16，则B（4，16）， 把A（﹣1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得，解得；当x=﹣2时，y=x2=4，则A（﹣2，4）；当x=3时，y=x2=9，则B（3，9），把A（﹣2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得，解得；故答案为：3，4；1，6；（2）k=m+n，b=﹣mn．理由如下：把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；（3）①当m=﹣3时，A（﹣3，9），∵点A关于y轴的对称点为点E，∴E（3，9），∵k=m+n，b=﹣mn，∴k=﹣3+n，b=3n，∴直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，则D（0，3n），当y=0时，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，则C（，0），∴==（n＞3）；②连结AE交OD于P，如图②，∵点A（m，m2）关于y轴的对称点为点E，∴E（﹣m，m2），∴OP=m2，∵k=m+n，b=﹣mn，∴D（0，﹣mn），若四边形AOED为菱形，则OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；若四边形AOED为正方形，则OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．点评：本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和菱形、正方形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；记住三角形的面积公式．4长春 22．在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点.猜想：如图①，当点在边上时，线段与的大小关系为.探究：如图②，当点在边的延长线上时，与边交于点．判断线段与的大小关系，并加以证明．应用：如图②，若利用探究得到的结论，求线段的长．图①图② 4长春 5长春23．如图，在等边中，于点，点在边上运动，过点作与边交于点，连结，以为邻边作□，设□与重叠部分图形的面积为，线段的长为（1）求线段的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形为菱形时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）设点关于直线的对称点为点，当线段的垂直平分线与直线相交时，设其交点为，当点与点位于直线同侧（不包括点在直线上）时，直接写出的取值范围． 5长春 6长春24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且点的坐标为点在这条抛物线上，且不与两点重合，过点作轴的垂线与射线交于点，以为边作使点在点的下方，且设线段的长度为，点的横坐标为．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）求与之间的函数关系式；（3）当的边被轴平分时，求的值；（4）以为边作等腰直角三角形，当时，直接写出点落在的边上时的值． 6长春 7江苏连云港 26．（本题满分12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．AEFGBCD图1（1）小明发现，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．AEFGBCD图2（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△与△面积之和的最大值，并简要说明理由．AEFGBCD图3H7江苏连云港 26．(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形(图1)H∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴∠AGD=∠AEB如图1，延长EB交DG于点H△ADG中∠AGD+∠ADG=90°∴∠AEB+∠ADG=90°△DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°∴∠DHE=90°∴(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形M(图2)∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG∴∠DAG=∠BAEAD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴DG=BE如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M,∠AMD=∠AMG=90°BD是正方形ABCD的对角线∴∠MDA=45°在Rt△AMD中，∵∠MDA＝45°，∴COS45°＝ ∴∴在Rt△AMG中，∵ ∴∴∵DG=DM+GM=∴BE=DG=方法（二）前同上略∵△ADG≌△ABE(SAS)∠GDA=∠AB∵BD是正方形ABCD的对角线∴∠GDA=45°∴∠ABE=45°作AM⊥BE交BE于点M在Rt△AMB中，∵∠ABE＝45°，∴COS45°＝ ∴∴在Rt△AEM中，∵∴∴BE=BM+EM=（3）面积的最大值为6．对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，所以当点H与点A重合时，△EGH的高最大，对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，所以当点H与点A重合时，△BDH的高最大，所以△与△面积之和的最大值是．所以当，又因为，所以取到最大值18．所以当点M的横坐标为6时，的长度最大值是18．8江苏连云港27．（本题满分14分）如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于A，B两点，其中点A的横坐标是． （1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM//x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N，当点M的横坐标为何值时，的长度最大？最大值是多少？xyABOPNMxyABO(第27题图)8江苏连云港27．（1）因为点A是直线与抛物线的交点，且其横坐标是，所以，A点坐标（，1） 设直线的函数关系式为将（0,4），（，1）代入得解得所以直线由，得，解之得，当时，．所以点[来源:学+科+M(图1)C（2）作AM∥轴,BM∥轴,AM,BM交于点M．由勾股定理得:=325．设点，则，．①若，则，即，所以．②②若，则，即，化简得，解之得或．③若，则，即，所以．所以点C的坐标为（3）设，则．(图2)Q由，所以，所以点P的横坐标为．所以．所以．所以当，又因为，所以取到最大值18．所以当点M的横坐标为6时，的长度最大值是18．9江苏苏州27．（本题满分10分）如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P 为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度数为▲°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．（第27题）9江苏苏州27．解：（1）45．．（2）如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，对称轴为．设点P坐标为（，n）．∵PA=PC∴PA2=PC2，AE2+PE2=CD2+PD2 解得．∴P点的坐标为．（3）：存在点Q满足题意．∵P点的坐标为∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2=．∵AC2=，∴PA2+PC2=AC2．∴∠APC＝90°．∴△PAC是等腰直角三角形．∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形．∴由题意知点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）．①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，若PQ与x轴垂直，则，解得，PQ=．若PQ与x轴不垂直，∵0＜m＜1，∴当时，取最小值，PQ取得最小值．∵＜，∴当，即Q为（，0）时，PQ的长度最小．②如图②，当Q为（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则，解得，PQ=．若PQ与y轴不垂直，∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．∵＜，∴当，即Q点的坐标为（0，）时，PQ的长度最小．综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．10江苏苏州 28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了▲cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（第28题）（图②）（图①）（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．10江苏苏州 28．解：（1）a+2b．（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为cm，圆心O移动的距离为cm，由题意，得．①∵点P移动2s到达B点，即点P用2s移动了bcm，点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了cm．∴．②由①②解得∵点P移动的速度与⊙O移动的速度相等，∴⊙O移动的速度为（cm/s）．∴这5s时间内圆心O移动的距离为5×4=20（cm）．（3）存在这种情形．设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，由题意，得．如图，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G．若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP．设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，即，解得．∴此时点P移动的距离为（cm）∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．∴，即∴EO1=16cm．∴OO1=14cm．．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，∴此时点P与⊙O移动的速度比为∵，∴此时PD与⊙O1不可能相切．[来源:学|科|网]②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），∴此时点P与⊙O移动的速度比为．∴此时PD与⊙O1恰好相切