§3_3　导数在实际问题中的应用及综合应用.pptx

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1、§3.3　导数在实际问题中的应用及综合应用高考数学(江苏省专用)1.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种

2、蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.A组  自主命题·江苏卷题组五年高考2解析本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10米.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ米,EC=40sinθ米,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为×2×40cosθ

3、(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ)平方米.3过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0).则年总产值为

4、4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈.则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1),4令f'(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f'(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f'(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.名师点睛(1)用θ表示OE和EC,

5、就能求出矩形ABCD及三角形CPD的面积,求定义域时抓住N、G关于OK对称得到∠GOK的正弦值,从而求得sinθ的范围.(2)先构造函数,再用导数求最值,求导时,交代θ的范围,判断f'(θ)的符号,再确定f(θ)的单调性,就能得到最大值,从而解决问题.52.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四

6、棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?6解析(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0

7、积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),00,V是单调增函数;当20,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大

8、值;(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.9解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2