高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用课件.pptx

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1、§3.2导数在实际问题中的应用1.生活中的变化率问题在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.2.最大值、最小值问题函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最

2、小值点也有类似的意义和求法.函数的最大值和最小值统称为最值.名师点拨正确理解函数的极值与最值(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.解析:f'(x)=x2-4

3、,令f'(x)=x2-4=0得x=2或x=-2(舍).当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0,因此x=2是函数f(x)的极小值点,∵f(0)=4,f(3)=1,∴f(x)在[0,3]上的最大值为f(0)=4.答案:B【做一做2】某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(00,当40

4、x≠0,x≠60.故V(x)的最大值就是其极大值16000,此时箱子的底面边长为40.答案:B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值.()(2)函数在区间[a,b]上的最值一定是在端点处取得.()(3)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必存在最大值与最小值.()(4)函数的最大值只有一个,但是可以在不同点处取得.()××√√探究一探究二思维辨析求函数的最值【例1】求下列函数的最值.(2)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2].分析:求极值及

5、两端点的函数值比较其大小.解:(1)f'(x)=-3x2+3.所以y=f(x)的最大值为2,最小值为-2.探究一探究二思维辨析(2)f'(x)=-4x3+4x,由f'(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得x=-1,0,1.当x变化时,f'(x)及f(x)的变化情况如下表:所以当x=-3时,y=f(x)有最小值-60,当x=-1或x=1时,y=f(x)有最大值4.探究一探究二思维辨析反思感悟设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:(1)求y=f(x)在[a

6、,b]内的极值.①求导数f'(x);②求方程f'(x)=0的全部实根;③检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右值的符号,如果左正右负,那么y=f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么y=f(x)在这个根处取得极小值.(2)将y=f(x)各极值与f(a),f(b)比较,确定y=f(x)的最大值与最小值.探究一探究二思维辨析变式训练1函数f(x)=x2(4x+3)在区间[-2,2]上的最大值为,最小值为.∴函数在[-2,2]上的最大值为44,最小值为-20.答案:44-20探究一探究二思维辨析变式训练2已知f(x)=

7、ax3-2ax2+b(a≠0),是否存在实数a,b使得f(x)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11?若存在,求出a,b的值及相应函数f(x);若不存在,请说明理由.解:存在.∵f(x)=ax3-2ax2+b(a≠0),∴f'(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4).若a>0,则当x变化时f(x),f‘(x)的变化情况如下表:因此,f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5.探究一探究二思维辨析∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(1)>f(-2),∴f(x)min=f(-2)=-16a+5=-1

8、1.∴a=1.∴f(x)=x3-2x2+5.若a<0,同理可得f(0)为最小值,∴f(0)=-11,得b=-11.∵f(-2)=-16a-11,f(1)=-a-11,∴f(-2)>f(1).∴f(-2)=f(x)max=5.∴a=-1.∴f(x)=-x3+2x2-11.探究一