第十六章量子力学基础.doc

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1、第十六章量子力学基础一、基本要求1、了解波函数的概念及其统计意义，理解微观粒子的波动性2、了解一维定态的薛定谔方程及其波函数解一般必须满足的条件，以及量子力学中用薛定谔方程处理一维无限深势阱、一维谐振子等微观物理问题的方法。3、了解量子力学对氢原子问题处理的基本方法，理解描述氢原子量子态的三个量子数（）的函义和能级公式。了解核外电子概率分布的函数形式和意义。二、基本内容本章重点：建立量子物理的基本概念，了解微观粒子运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、一维定态的薛定谔方程及其应用。本章难点：波函数及其核外电子概率分布的意义。（一）波函数及其统计意义：微观粒子的运动

2、状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的,具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。微观粒子的概率波的波函数是：概率密度：波函数模的平方代表时刻t，在处附近空间单位体积中粒子出现的几率。因此也被称为概率密度。即某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的概率为：或波函数必须满足标准化条件：单值、连续、有限。波函数必须满足归一化条件：（二）薛

3、定谔方程：1、含时薛定谔方程：量子力学中微观粒子的状态用波函数来描述，决定粒子状态变化的方程是薛定谔方程。一般形式的薛定谔方程，也称含时薛定谔方程，即：式中是粒子的质量，是否粒子在外力场中的势能函数。2、定态薛定谔方程：当粒子在稳定场中运动，势能函数与时间无关，即时，为定态薛定谔方程：其特解为：∞∞概率密度分布为：（三）一维势阱和势垒问题：1、一维无限深方势阱：对于一势阱有维无限深方U(x)a0定态薛定谔方程为：令x薛定谔方程的解为：其中都是常量，（为积分常量），其中分别用归一化条件和边界条件确定。根据，可以确定a=0或于是上式改写为：根据，可以确定，根据归一化条件，

4、确定，得能级公式为：由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。当时，粒子处于最低能量状态，称为基态，其基态能量（零点能）为：激发态能量：一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。波动方程：波函数：概率密度：能量：量子数：势阱中相邻能级之差：能级相对间隔：当能量视为连续变化。与能量本征值相对应的本征函数为：归一化波函数为：2、势垒穿透和隧道效应：有限高的势垒：在P区和S的形式区薛定谔方程为：在Q区粒子应满足下面的方程式：用分离变量法求解，得：(P区)(Q区)（S区）在P区，势垒反射系数：在Q区，势垒透射系数：粒子能够穿透比其动能高的势垒的

5、现象，称为隧道效应。经典理论：（1）E>的粒子，越过势垒。（2）E<的粒子，不能越过势垒。量子理论：（1）E>的粒子，也存在被弹回的概率——反射波。（2）E<的粒子，也可能越过势垒到达S区——隧道效应。（四）一维谐振子问题1、一维谐振子的定态薛定谔方程：为系统的势能：简谐振子的能量为：将势能形式代入定态薛定谔方程，得：2、一维谐振子的能量本征值：为使波函数量满足单值、连续、有限的条件，能量本征值只能取：基态能量（零点能）为：（五）氢原子1、角动量的本征函数和相应的量子数：动量的本征值为：L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外电子相对于核的

6、角动量，称为轨道角动量。电子轨道角动量的z分量的大小：0,±1,±2,…,±称为磁量子数。轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动量的空间量子化。2、氢原子的能级：氢原子的能级公式：从能级公式可以看到，E¥=0，这就是电离。当n=1，即氢原子处于基态时，能量为：3、能量的本征函数和能级的简并度：对于任何一个主量子数n，共有：个量子态都对应于相同的能量本征值，这种情形就称为能级是简并的，或者更具体地说，定态能级的简并度是。一、类氢离子能级公式：（六）氢原子中电子的概率分布1、电子概率的径向分布：在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为：式中

7、是电子出现在相应球壳内的概率密度，称为电子概率的径向分布函数。可以证明，对于n-l-1=0的所有量子态的最概然半径可以表示为：2、电子概率的角度分布函数：立体角dW=sinqdqdj内发现电子的概率为：式中(q,j)是电子出现在相应立体角内的概率密度，称为电子概率的角度分布函数。电子概率的角度分布函数(q,j)与j无关,所以角度分布函数(q,j)是以z轴为旋转对称轴的。三、问题讨论1、数归一化波函是什么意思？答：波函数绝对值的平方是在处的概率密度，即在此处附近空间单位体积中粒子发现的概率的大小。数归一化波函是指概率密度在全空间中的积分为1，即：上式在