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时间:2021-01-31
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1、第三章第五节数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.(2010·贵州模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于( )A.4B.3C.2D.1解析:由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+====2.答案:C2.数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a6=b7,则有( )A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10的大小不确定解析:∵a3+a9≥2=2=2a6=2b7=b4+b10,当且仅当a3=a9时,不等式取等
2、号.答案:B3.(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2=3,S6=36.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)∵数列{an}是等差数列,∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36.∵a2=3,∴a5=9,∴3d=a5-a2=6,∴d=2,又∵a1=a2-d=1,∴an=2n-1.(2)由等比数列{bn}满足b1+b2=3,b4+b5=24,得=q3=8,∴q=2,∵b1+b2=3,∴b1+b1q=3,∴b1=1,bn=2n-1
3、,∴an·bn=(2n-1)·2n-1.∴Tn=1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1,则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,两式相减得(1-2)Tn=1×1+2×2+2×22+…+2·2n-2+2·2n-1-(2n-1)·2n,即-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2(2n-2)-(2n-1)·2n=(3-2n)·2n-3,∴Tn=(2n-3)·2n+3.(理)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.(
4、1)求a2,a3;(2)证明:数列{an-2}为等比数列;(3)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列,∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即an+1=.∵a1=1,∴a2=,a3=.(2)证明:由题意得a1-2=-1,又∵==,∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列.(3)由(2)得an-2=-()n-1,∴nan=2n-n·()n-1,∴Tn=(2-1)+(4-2·)+[6-3·()2]+…+[2n-n·()n-1],=(2+4+6+…+2n)-[1+2·+3·()2+…+n·()n-1],设An=1
5、+2·+3·()2+…+n·()n-1,①∴An=+2·()2+3·()3+…+n·()n,②①-②得An=1++()2+…+()n-1-n·()n,∴An=-n·()n,∴An=4-(n+2)·()n-1,∴Tn=+(n+2)·()n-1-4=(n+2)·()n-1+n(n+1)-4.题组二以等差数列为模型的实际问题4.若数列{an}满足=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16= .解析:由题意,若{an}为调和数列,则{}为等差数列,所以{}为调和数列,则可得数列{x
6、n}为等差数列,由等差数列的性质可知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…==20.答案:205.(2010·安庆模拟)某市2009年11月份曾发生流感,据统计,11月1日该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数.解:设第n天新患者人数最多,于是,前n天每天新感染者的总人
7、数构成一个首项为20,公差为50的等差数列,前n天流感病毒感染者总人数Sn=20n+×50=25n2-5n(1≤n≤30,n∈N),后30-n天每天新增流感病毒感染者构成一个首项为20+(n-1)×50-30=50n-60,公差为30,项数为30-n的等差数列,而后30-n天的流感病毒感染者总人数Tn=(30-n)(50n-60)+×(-30)=-65n2+2445n-14850,依题设构建方程有,Sn+Tn=8670,∴25n2-5n+(-65n2+2445n-14850)=8670,化简,n2-61n+588=0,∴n=12或n=49(舍),第12天的新的患者
8、人数为20
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