高考数学 第五节 数列的综合应用教材.doc

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1、第五节数列的综合应用考点串串讲1．用数学模型解题的基本模式(1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决．(2)建立数学模型的一般步骤①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论；②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来；③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．2．常见的数列模型(1)等

2、差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．注意　①认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型．②如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an，n，d，q，Sn这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn的还是an的，又或者是二者综

3、合的，然后再确定要求解的量．3．数列与其他知识的综合(1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等关系．(2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解．注意　①数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式．②数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经

4、常出现，对此需要引起注意.典例对对碰题型一等差数列模型例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？分析　本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和．解析　设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗处，共走路程为10(x－1)，然后回到第二面处再到第x面处是20(x－2)，……，从第x面处到第(x＋

5、1)面处的路程为20，从第x面处到第(x＋2)面取旗再到第x面处，路程为20×2，……总的路程为S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x)＝10(x－1)＋20×＋20×＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20(x－)2＋∵x∈N*，∴x＝7时，S有最小值S＝780(m)．答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短．点评　本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n项和公式，在求和后，利用二次函数求

6、最短路程.变式迁移1某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？(即年平均费用最少)解析　设汽车使用年限为n年，f(n)为使用该汽车的年平均费用．f(n)＝[10＋0.9n＋(0.2＋0.4＋…＋0.2n)]＝＋＋1≥1＋2＝3当且仅当＝即n＝10(年)时等号成立．因此该汽车使用10年报废最合算.题型二等比数列模型例22001年初，某一万人口贫困乡镇为脱贫致富奔小康，将人口年增长率控制为

7、千分之二，并利用其资源优势创办一家新企业，这一企业2001年创利90万元，自2002年开始，每年实现利润为前面所有利润总和的.(1)若以2001年为第一年，试写出这家企业第n年的利润an与n之间的关系式；(2)设该乡镇2009年除上述企业外的收入为3000万元，问2009年底时该乡镇人民能否达到人均收入不少于5000元的小康水平？分析　由题意，每年实现利润为前面所有利润总和的，即说明了第n年的利润与前n－1年利润总和之间的一个递推关系，从而利用递推数列有关知识解决．解析　(1)设2001年起，该企业各年的利润组成数列{an}，S

8、n为其前n项和．则a1＝90，an＝Sn－1(n≥2)，∴n≥2时，Sn－Sn－1＝Sn－1，∴Sn＝Sn－1，∴Sn＝()n－1S1＝90×()n－1.∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝60×()n－2，∴an＝(2)2009年底时，a9＝60×()7＝214