4、=0,=0,∴=1例4如图所示:已知抛物线y=x2,点An的坐标为(1,0),将OAn分为n等分,分点为A1,A2,…An─1,过A1,A2,…An─1,An分别作y轴的平行线,分别交抛物线于B1,B2,B3,…Bn─1,Bn,再分别以OA1,A1A2,A2A3,…An─1An为宽作n个小矩形求n个小矩形的面积之和;求(即曲边梯形OAnBn的面积)解:Sn==(n+1)(2n+1)/(6n2);=1/3本题用极限的思想求曲边梯形的面积,正是高等数学中的思想例5等差数列{an}中,已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0(r∈N)是关于x的一组方程①证明这些方程中有公
5、共根,并求这个公共根;②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明:数列{1/(mr+1)}是等差数列解:①依题意,由{an}是等差数列,有ar+ar+2=2ar+1(r∈N),即x=─1时,方程成立,因此方程恒有实数根x=─1;②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar,∴1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d),∴1/(mr+1+1)─1/(mr+1)=〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,∴{1/(mr+1)}是等差数列例6数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常
6、数,且b≠0,①求证{an}是等差数列;②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上,并求出直线方程;③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心,r为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围证明:①根据得an=a+(n─1)´2b,∴{an}是等差数列,首项为a,公比为2b②由x=an=a+(n─1)´2b,y=Sn/n─1=a+(n─1)b两式中消去n,得:x─2y+a─2=0,(另外算斜率也是一种办法)(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是:(r─1)2+r2>r2;(r─2)2+(r─1/2)2>
7、r2;(r─3)2+(r─1)2>r2∴r的取值范围是(1,5/2─)∪(0,1)∪(4+,+∞)例7已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设bn=a2n─1+a2n(n=1,2,3,…)①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N)成立的q的取值范围;②求bn和,其中Sn为数列bn的前n项的和;③设r=2