第 33 讲 简单的线性规划及应用.doc

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1、第33讲简单的线性规划及应用（第课时）神经网络准确记忆！简单的线性规划重点难点好好把握！重点：1．二元一次不等式的平面区域表示；2．线性规划的概念和可行域的求法；3．简单线性规划的应用。难点：1．可行域中的整点解求法；2．线性规划的应用。考纲要求注意紧扣！1．了解二元一次不等式表示平面区域，能作出二元一次不等式（组）表示的区域；2．了解线性规划的意义，并会简单应用，能解答一些简单的实际问题。命题预测仅供参考！该内容实质上是直线方程的简单应用，主要考察数学中的转化思想、建模思想、数形结合思想以及解决实际问题的能力。考点热点一定掌握！1．二元一

2、次不等式表示平面区域⑴二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（半平面）且不含边界直线；不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域（半平面）则包括边界直线。反过来，直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，使得Ax+By+C的值符号相同。注意：作图时，不包括边界画成虚线，包括边界画成实线。⑵判断二元一次不等式表示哪一侧半平面的方法方法一（特殊点法）：在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一个特殊点，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0（或Ax+By+C<0）表示直线哪一侧

3、的半平面。当时，常用（0，0）点，当时常用（0，1）点或（1，0）点。方法二（x系数法）：在直线Ax+By+C=0右侧的点使Ax+By+C与A同号；左侧的点使Ax+By+C与A异号。点评：为了方便记忆方法二，遇到Ax+By+C>0（或Ax+By+C<0）中A<0时，不妨把Ax+By+C>0（或Ax+By+C<0）两边同乘-1（注意，此时不等号要反向），使得A>0。这样一来，直线Ax+By+C=0右侧的点使Ax+By+C>0（左侧的点使Ax+By+C<0）。⑶二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。例．画出不等

4、式2x+y-6<0表示的平面区域。解法一（特殊点法）：先画出直线2x+y-6=0(画成虚线)，取原点(0,0)，代入2x+y-6,因为2×0+0-6=-6＜0，所以，原点在2x+y-6<0表示的平面区域内，不等式2x+y-6<0表示的区域如图阴影部分所示。解法二（x系数法）：先画出直线2x+y-6=0(画成虚线)，∵x的系数大于零，∴直线2x+y-6=0左侧的点使2x+y-6小于零，∴不等式2x+y-6<0表示的区域如图阴影部分所示。例．画出不等式组表示的平面区域。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不

5、等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式x－y＋５≥0表示直线x－y＋５＝0右方（含直线）的点的集合，x＋y≥0表示直线x+y=0右方（含直线）的点的集合，x≤3表示直线左方（含直线）的点的集合，所以，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示。2．常用术语①约束条件：由x、y的不等式或方程构成的不等式组，是x、y的约束条件。②线性约束条件：由x、y的一次不等式或方程构成的不等式组，是x、y的线性约束条件。③目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式。④线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。⑤可行解

6、：满足线性约束条件的解（，）。⑥可行域：所有可行解组成的集合。⑦最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解。3．求线性目标函数在约束条件下的最值首先画出约束条件所表示的平面区域，线性目标函数在约束条件下的最值问题，就是求满足约束条件的可行解（，），利用平移直线的方法找点，使目标函数取得最值。例．设，式中变量满足下列条件：，。解：先画出约束条件所表示的平面区域，如右图阴影部分所示。过点（0，0）作直线：，把直线向右上方移到的位置，直线经过点Ｂ（１，１）且与原点的距离为最小，此时取最小值；把直线向右上方继续移到的位置，经过点Ａ（５，２）且与原点

7、的距离为最大，此时取最大值。所以，。例．给出平面区域如图所示。在此区域内，若使目标函数（）取最大值的最优解有无穷多个，则的值为（）yxo.；.；.4；.。解：目标函数的最大值即为直线的纵截距的最大值，此直线的斜率为，由于最优解有无穷多个，∴直线必与过（5，2）和的直线重合，∴，即。4．实践问题处理简单的线性规划实际问题，关键在于根据已知条件写出线性约束条件以及目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解。审题时要注意：约束条件中有无等号？未知数是否都是整数是否包括零？处理简单的线性规划的实际问题，其步骤如下：①列出不等式组；②作出可行域；

8、③建立目标函数；④求出最优解。线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人、财、物等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划