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1、第41讲简单的线性规划问题【考点解读】1.会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域；能画出二元一次不等式组表示的平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示；2.能用平面区域解决简单的线性规划问题。.【知识扫描】1.二元一次不等式表示平面区域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.说明:①二元一次不等式Ax+By+C≥0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.2.判断二元一次不等式表
2、示哪一侧平面区域的方法:方————取特殊点检验;原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时,常取原点检验.【考计点拔】牛刀小试：1．（2011年湖北高考）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为A．[-2，2]B．[-2，3]C．[-3，2]D．[-3，3]答案：D．2．
3、在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )A．－5B．1C．2D．3解析：选D.由得A(1，a＋1)，由得B(1,0)，由得C(0,1)．∵△ABC的面积为2，且a>－1，∴S△ABC＝
4、a＋1
5、＝2，∴a＝3.3.已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )A．7B．5C．4D．3解析：选B.将直线y＝x＋1与y＝2x－1联立解得A(2,3)，据题意即为最优解，又点A必在直线x＋y＝m上，代入求得m＝5.4．不等式组所确定的平面区域记为D.点(x，y)是区域D上的点，若圆O：x
6、2＋y2＝r2上的所有点都在区域D上，则圆O的面积的最大值是________．解析：画出不等式组所表示的平面区域(略)，其中离原点最近的距离为，故r的最大值为，所以圆O的面积的最大值是.答案：5．如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2，2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．解：由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为.【典例解析】考点一不等式表示的平面区域例
7、1.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是A.B.C.D.答案BAxDyCOy=kx+解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）∴△ABC=，设与的交点为D，则由知，∴∴选A。【规律小结】线性规划问题是数形结合思想的体现，因此作图瑶准确。【变式训练1】如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是 .【答案】[0，6]【解析】以点A为原点,直线AB为轴,建立平面直角坐标系,则点A(0,0),M(2,1),设点,则,,且,设,则当直线过点C(2,2)时,
8、;当直线过点A(0,0)时,,所以的取值范围是[0，6].考点二线性规划的应用题例2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元答案D解析设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。【规律小结】要准确把握目标函数的几何意
9、义。【变式训练2】已知求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是
10、MN
11、2＝.考点三运用线性规划求最值例3．若实数满足则的最小值为__________.答案解析：如图，当时，为最小值.故应填.
12、【变式训练3】(吉林省长春市2012年
