高中数学 (第40讲)简单的线性规划及实际应用复习学案

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1、第七章直线和圆的方程简单的线性规划及实际应用高考要求　　1了解二元一次不等式表示平面区域2了解线性规划的意义并会简单的应用知识点归纳1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=

2、0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域2线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）

3、利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案题型讲解例1求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或或或其平面区域如图∴面积S=×4×4=8点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界例2某人上午7时，乘摩托艇以匀速vnmile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50nmile的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30

4、≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达C市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是xh、yh（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围解：（1）依题意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100∴3≤x≤10，≤y≤①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤

5、14②因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y），∴3x+2y=131－p设131－p=k，那么当k最大时，p最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小此时，v=125，w=30，p的最小值为93元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义例3某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9

6、名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，

7、使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点例4设，式中变量满足条件求的最大值和最小值解：由已知，变量满足的每个不等式都表示一

8、个平面区域，因此①所表示的区域为如图中的四边形ABCD当过点C时，取最小值，当过点A时，取最大值即当时，，当时，例5某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用，它生产1千克糖果的成本是10元，而销售价是每千克15元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能