线性规划的转化及简单应用

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1、线性规划的转化及简单应用浙江省湖州市南浔中学温学峰邮编：313009联系电话：0572－3035093线性规划是高中数学中的一个新增内容，主要由线性约束条件（不等式组）和目标函数两部分组成，然后求目标函数的最值。很多学生在解题中只会求已知目标函数是的题型，而对目标函数稍微复杂点的题型就无从着手，本文结合实例来谈谈如何转化目标函数来求得最值。一、分式的转化目标函数为，可转化为，可将看作是可行域内的点和定点两点之间的斜率的倍，然后通过数形结合来确定目标函数的最值。例1，实数满足，则的最大值是（　　　）解：作

2、出不等式组在坐标平面上的可行域，设，则由图可知的最大值是7例2，实系数方程的一根在（0,1）之间，另一根在（1,2）之间，求的取值范围。解：令，则由区间根问题可知：，即，画出可行域如图所示；又的几何意义是过可行域内点与定点的连线的斜率，解得，，得,由图像可知：的范围是碰到目标函数是分式的线性规划题，我们往往可以将分式转化为两点之间的斜率（其中一点在可行域内，一点是定点）或斜率的倍数，通过数形结合来达到求解的目的。一、平方和的转化2x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA目标函数为（或可

3、以转化为平方和的形式），可将看作是可行域内的点和定点两点之间的距离的平方，若,则直接转化为定点A,B之间的距离。例3，已知x、y满足以下约束条件　，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是　　　（　）　　A、13，1　B、13，2　C、13，　D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是可行域内点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即

4、AO

5、2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C例4，已知，且，则的最小值为（　　）A．　　　　B．　　　　C．

6、　　　　D．解：首先可将目标函数化为，然后将看作是可行域内点和定点之间距离的平方，解法同上例，答案为B。目标函数如果有平方项的时候，我们往往将目标函数通过配方转化为平方和（或平方和加一个常数）的形式，将目标函数理解为两点的距离（或距离的平方加常数），其中一个点在可行域内，一个是定点，通过数形结合来达到求解的目的。一、绝对值的转化目标函数为，可转化为，将看作可行域内点到直线的距离的倍。例5，已知实数满足，求的最大值。解：目标函数转化为：，理解为可行域内点到直线的距离的倍。由，求得，所以（图略）这种转化比较

7、巧妙，主要针对于目标函数中有绝对值的题型。二、线性规划在解题中的一个巧妙应用例6．已知点,,直线过定点且与直线相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．xoyP(1,1)B(-3,-2)A(2,-3)本题的常规解法是画出图形，根据斜率的变化范围来就得最后的解，但是往往有很多同学会搞不清楚是选项还是，其实这种题目也可以根据线性规划求解，解题过程简洁明了。解：在平面直角坐标系中画出图形，由题意知两点必在直线的两侧（或某个点正好在直线上），设直线的方程为：即，由两点在直线的两侧得所以。选项为线性规划只

8、要会对目标函数进行转化，那么求解就比较轻松了。下面附上一些相关的练习，供大家参考：1.实数、满足不等式组的取值范围是（）A．[－1，0]B．C．[－D．[－1，12.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(－2,3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。3．设动点坐标（x，y）满足则x2+y2的最小值为（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，A.B.C.D.10参考答案：1．D2．m≤或m≥3．D南浔中学教学教育论文（案例）评比承诺书评比类别□教学论文　□教学案例（设计）　□课堂教学　其它：题目

9、内容线性规划的转化及简单应用教师姓名温学峰性别男出生年月　1979年　02月职称中二单位全称湖州市南浔中学单位地址湖州市南浔中学邮编313009联系电话办公电话：　　0572－3035093　　手机：13757248053电子信箱Email:wenxuefeng34@126.com个人诚信承诺1．我郑重承诺（在括号内打“√”）：所写教学论文系本人原创，没有抄袭他人（√）所写教学案例真实，源于本人亲历的课堂（）所写教学设计系本人原创，没有照搬他人（）2．学校若将我的作品上送参评、上网、发表、出版，我表示（

10、在括号内打“√”）：同意（√）不同意（）承诺人签字：　　　温学峰　2007年　11月　5日教研处意见　　　　　　教研处负责人签字：　　　　（盖章）　　年　月　日学校意见　　　　学校领导签字：　　　　　　（盖章）　年　月　日注：1、将此承诺书附于上交论文（案例）后。2、学校对违反承诺，抄袭或变相抄袭他人的教师进行公开批评，并取消该教师三年参加论文（案例）评比的资格。南浔中学教研处编制