2021版高三数学解题万能解题模板41圆锥曲线中的对称问题【解析版】.docx

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1、专题41圆锥曲线中的对称问题【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围.这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点.因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.方法一判别式法万能模板内容使用场景圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求

2、出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1.在ΔABC中，顶点A,B,C所对三边分别是a,b,c已知B(-1,0),C1,0,且b,a,c成等差数列.(I)求顶点A的轨迹方程；(II)设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-12)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围【解析】（I）由题知a=2b+c=2a得b+c=4，即AC+AB=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半

3、轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴顶点A的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0)．35/35（II）由y=kx+m3x2+4y2-12=0消去整理得3+4k2x2+8kmx+4m2-3=0,∴Δ=8km2-43+4k2×4m2-3>0，整理得：4k2>m2-3…①.令Mx1，y1，Nx2，y2，则x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4(m2-3)3+4k2.设MN的中点Px0，y0，则x0=12x1+x2=-4km3+4k2,y0=12y1+y2=12kx1+m+kx2+m=m+kx0

4、=3m3+4k2.i)当k=0时，由题知，m∈(-3,0)∪(0,3)．ii)当k≠0时，直线l方程为y+12=-1kx，由Px0，y0在直线l上，得3m3+4k2+12=4m3+4k2，得2m=3+4k2…②把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得m>32，∴32

5、．综上，当k=0时，m的取值范围为m∈(-3,0)∪(0,3)；当k≠0时，m的取值范围为(32,2)．【点晴】第（II）题的关键是理解求实数m的取值范围，其实是要解关于m的不等式，所以要通过已知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于0，即可得包含m的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的k与m的关系式即可求出m的取值范围.例2、已知椭圆的离心率是，且过点．35/35（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．【解析】过点,,椭圆的

6、方程为由得由于直线与椭圆有两个不同的交点，即当时，设弦的中点为,分别为点的横坐标，则,从而又,则,即将代入得,解得由得解得,故的取值范围是35/35当时，，则解得综上所述，的取值范围是【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．【解析】设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则∵点在直线上，∴∴，代入，得，即，解得。【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：两式相减

7、得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。所以R这与题设矛盾。∴PQ两点不存在。方法二点差法万能模板内容35/35使用场景圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板第一步设出两点和中点坐标（x，y）；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于

8、直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。解方程组：得AB中点C的坐标(-，)。联立消去得--(+1)=0。(*)依题意(*)式△=1+4(+1)>0，且∴=-1，再由△>0得>解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方程组：∵+≠0∴=－，代入=－1得关于的二次方程：，由△>0得>。点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.35/35当然，不管是两