2018年高考数学专题41圆锥曲线中的对称问题黄金解题模板

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1、专题41圆锥曲线中的对称问题【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系屮，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围.这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点.因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线屮存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设111两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1.[201

2、8湖南省邵阳市洞口县第一中学模拟】在山必中，顶点几毗所对三边分别是口加已知班-1,0)以1,0),且成等差数列.(I)求顶点孙的轨迹方程；(TT)设顶点A的轨迹与直线+川相交于不同的两点恢N,如果存在过点2的直线,使得点N关于对称，求实数加的取值范围【解析】(D由題知得b+c=4,即AC+AB=4(定值).由椭圆定义知，顶点4的轨迹是以*、C为焦点的椭圆(除去左右顶点力且其长半轴长为2,半焦距为1,于是短半轴长为、3・・•・顶点A的轨迹方程为牙+手=1()V0)・(IDy=kx+m2+4y2-12消去整理得(3+4k2)x2+8fcmx+4(?n2-3)=0:/d=(8km)2-4(

3、3+4k2)x4(m2-3)>0、整理得：4k2>m2-3…①.9km令M(“y)n(%2»y2)，则24rm2-3)心="2设MN的中点P(x0,y0),贝U尤0=三(心+心)=一熬？yo=j61+yj=7(^1+m+g+m)=m+fcx0=計士-i)当/c=0时，由题知，me(一苗,0)u(0八③・ii)当kh0日寸，直线！方程为y+A-二x,XK由PCd儿)在直线I上，得誌+2二花，得2加=3+4辰・・②把②式代入①中可得2m-3>m2-3,解得00,解得m>

4、，•二

5、?-4k4-3=0?k无解•即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx^m不过右顶点・.•.m的取值范围为G，2))•综上，当R=o时，H1的取值范围为me(-vI>0)u(0,vI)；当20时，m的取值范围为(岂2)・【点晴】第(11)题的关键是理解求实数加的取值范围，其实是要解关于m的不等式，所以要通过己知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于()，即可得包含m的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的k与m的关系式即可求出川的取值范围.c：4+4=x*>q)—P;on例2、已知椭圆“0的离心率是3,且过点尸"盯.(I)求椭圆c的方程.(II)设椭圆

6、c与直线F=■相交于不同的两点就、N,又点A(O>"1),当昨

7、=冋

8、时，求实数E的取值范围.【解析】山・:过点刊叫尹1•沪-1■■椭圆U的方程为y=Ax+w（2）由｛壬:_得（3疋+”/+6说+3（沪一1）=0T+y=、^由于直线与椭圆有两个不同的交点,：4>0,即宀3宀1（I）当上H0时，设弦MV的中点为D

9、匀=划）利：X、分别为点M.N的横坐标,则吃严：卩Z3mk.._.w-3d，从而兀%+粗3卄「•k_如+1_・•-kad--XDm+3k2+13mk又.4AI=

10、^

11、,AD丄A£V=则一"匸芒-一1=一丄:即2耕=3P+1①3mkk将冰入寻2血〉胡2解得o

12、解得心:故加的取值范围是；-,2；32I2!U当"0时，冲卜刪:・ADUQf・则解得-!<«<]综上所述，用的取值范围是C-12】【变式演练1】在抛物线^=4x±恒有两点关于直线y=to+3对称，求上的取值范围.【解析】设日、u关于直线八山"对称，直线方程为代入尸"才得,y2+4l^-4n-0T点*****在直线^±,a-2t-k(2?+m：i+3_疋★签43F+2t+3^nCb+lXP-*r+3；^n*,代入得~~,即>,解得-4

13、且gb,a、ba=eR,则：2两式相减得：说+“二一2,卜二一2—8，再代入前一式得口：+2”+2二0,其判别式厶二4一8<0。所以。R这与题设矛盾。・・.PQ两点不存在。方法二点差法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步设出两点和中点坐标(x,y)；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x,y满足的关系式;第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范圉求出参数取值范圉.例3、若抛物线尸