二次根式的概念与性质.docx

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1、二次根式的概念与性质一、知识结构：知识要点梳理知识点一：二次根式的概念　　一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．　　要点诠释：　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；　　（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。（1）3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如,,就是同类二

2、次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。　　4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。关于二次根式的概念，要注意以下几点：　　（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如　　　　，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；　　（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘　　　　法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其

3、相乘的有理数或有理　　　　式就叫做二次根式的系数；　　（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含　　　　字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；　　（4）象“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。知识点二：二次根式的性质　　1.；　　2.；　　3.；　　4.积的算术平方根的性质：；　　5.商的算术平方根的性质：.（6）若，则。注意与的逆用。　　要点诠释：　　二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实

4、数范围内进行因式分解.要注意以下问题：　　（1）因为被开方数a2≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定，要对其进行讨论。　　（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。2．的区别　　（1）意义不同：前者表示的是非负数a的算术平方根的二次幂等于它本身，后者表示的是任何一个实数a的二次幂的算术平方根等于它的绝对值。    （2）运算不同：前者是对一个二次根式

5、施以平方运算，后者是一个实数的二次幂施以开平方运算。    （3）取值不同：前者字母a的取值范围是a≥0，后者字母a的取值范围是任何实数。    （4）当a≥0时，，而当a<0时，无意义，2．对式子的讨论，在本章开始时曾指出：“如果没有特殊说明，所有字母都表示正数．”在这一节中，字母并不都是表示正数，因此在化简时，要进行分类讨论．由于一个实数可能是正数、零和负数三种情形，所以上述式子实际表示三种情形：　　当a>0时，=

6、a

7、=a；　　当a=0时，=

8、a

9、=0；　　当a<0时，=

10、a

11、=–a．　　我们在计算的过程中，要牢记=

12、a

13、这一中间结果，然后再对不同

14、符号的a值，脱去绝对值符号，这样可使运算少出差错． 2．熟练进行二次根式的变形    利用二次根式的基本性质，对二次根式可以进行以下变形：    （1）因式的内移和外移，即    （2）分母有理化，即知识点三：代数式　　形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraicexpression).知识点一：二次根式的乘法　　法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.　　要点诠释：　　(1)在运用二次根式的乘法法则进

15、行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)　　(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：　　　　(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.　　　　明确运算结果的要求，不断归纳运算结果应满足的两个要求：　　　　①应为最简二次根式（包括两个条件）或有理式；②分母中不含根号。知识点二、积的算术平方根的性质　　，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.　　要点诠释：　　(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如

16、果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；　　(2)二次根式的化