【精品】四年级下册数学试题-奥数专题讲练：1 乘法原理 竞赛篇（解析版）全国通用.doc

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1、第一讲乘法原理卷Ⅰ教学目标本讲的三个教学要点：①使学生掌握乘法原理主要内容；②掌握乘法原理运用的方法；③培养学生准确分解步骤的解题能力.乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯.下图所示的八个图案是《周易》中所说的八卦，你们能画出第九个不同的卦相吗？如果不能，那是为什么？答案：根据乘法原理，一共只有2×2×2=8种卦象想挑战吗？专题精讲我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，

2、做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.（一）简单乘法原理应用【例1】（★★★★）在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?分析：从A点到C点一共有3种走法，从C点到D点一共也有3种走法，从D点到B点一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×3×3=27种走法.[拓展]（★★★）在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任

3、何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?分析：解这道题时千万不要受原来那道题的影响，A到C的地走法不是3条而是4条所以这只甲虫最多有4×4=16种走法.【例2】（★★★★）有三组：（1）1，2，3；（2）0.5，1.5，2.5，3.5；（3）4，5，6.如果从每组数中各取出一个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的总和是多少？分析：将式子（1+2+3）×（0.5+1.5+2.5+3.5）×（4+5+6）用乘法分配律展开所得的3×4×3=36个加项即为36种不同取法的三个数的乘式，所以（1+2+3）×（0.5+1.5+2.5+3.5）×（4+5+6）的值即为不同取法的三个数乘积的总和

4、为720.【例3】（★★★★）从1到2004这2004个正整数中，共有个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位．分析：考虑不进位的情况．9999－8866=1133．千位百位各有0，1两种选法，十位、个位各有0，1，2，3四种选法，因为0000不是正整数，所以不进位的数有2×2×4×4－1=63(个)．至少发生一次进位的数有2004－63=1941(个)．[前铺]10到99这90个数中，与66相加不产生进位的数有多少个？分析：十位、个位上不产生进位，要求十位上、个位上的数字不超过3，这样十位的数可以取值1、2、3上，个位上的数可以取值0、1、2、3，所以与66相加不产生进位的数有3×4=1

5、2个.（二）较复杂的乘法原理应用很多问题并没有给出完成每一个步骤有多少种方法，这些步骤的方法数量需要我们从已知条件中间接得到。【例4】（★★★★）如图，一张地图上有五个国家A，B，C，D，E，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？分析：第一步，给A国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B国上色，B国不能使用A国的颜色，有三种选择；第三步，给C国上色，C国与B，A两国相邻，所以不能使用A，B国的颜色，只有两种选择；第四步，给D国上色，D国与B，C两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E国上色，E国

6、与C，D两国相邻，有两种选择．共有4×3×2×2×2=96种着色方法．[拓展1]如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法？分析：这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4×3×2×2×2=96种方法.讨论:如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？答案：也是4×3×2×2×2=96种方法.如果染色步骤为C-A-D-B-E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4

7、×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有4×3×（1×2×2+2×1×2）=96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.[拓展2]如图