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1、简单的线性规划贾岛2012年11月摘录知识点：（一）有关概念：约束条件：由x、y的不等式所组成的不等式组称为x、y的约束条件。线性约束条件：关于x、y的一次不等式所组成的不等式组称为x、y的线性约束条件。目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式称为目标函数。线性目标函数：关于x、y的一次目标函数称为线性目标函数。线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解。可行域：所有可行解所组成的集合称为可行域。最优解：使目标
2、函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。（二）解线性规划问题的步骤：(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域；（直线定界，定点定域）作出过原点的目标函数的辅助线(注意比较斜率大小，主要是看陡坡)(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(3)求：通过解方程组求出最优解；(4)答：作出答案。例题讲解：线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题图1书、11例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值
3、为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。练习：1.若、满足条件求的最大值和最小值．二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题图2例2、已知则的最小值是.解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5
4、。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。练习：1．若实数x、y满足则的取值范围是( )A．(0,1) B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)2.设，式中的变量、满足试求的最大值、最小值．(1)求(x+2)2+(y-8)2最小值(2)求y/x的最大值；(3)求2x+y的最大值(4)若ax+y在点（8，6）处取得最大值;求a的取值范围；(5)若有无数个点使得ax+y为最大值，求a的值.4.已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求
5、a+3b的取值范围。三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。例3、在约束条件下，当时，目标函数C的最大值的变化范围是（）A.B.C.D.解析：画出可行域如图3所示,当时,目标函数在处取得最大值,即;当时,目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。1.已知
6、2x－y＋m
7、＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（
8、-3,3）四、已知平面区域，逆向考查约束条件。例4：用不等式表示以，，为顶点的三角形内部的平面区域．五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例5已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为。解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即
9、可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。1.已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4(C)(D)2解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选Ｂ。点评：有关
10、平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。备选例题：1.求不等式组所表示的平面区域的面积．2.(2009·安徽高考)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是A. B.C.D.1.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面
