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1、曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是（只填序号）.①曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0②凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上③不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0④不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0答案①②③2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是.答案线段AB3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是.答案84.（2008·北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的
2、轨迹为(写出曲线形状即可).答案抛物线5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是.答案平行例1如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解设点M的坐标为（x,y）,∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y
3、-5=0.例2（5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-,0），C（，0）且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是.答案-=1（y≠0)的右支例3如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在Rt△ABP中，
4、AR
5、=
6、PR
7、，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有Rt△OAR中，
8、AR
9、2=
10、AO
11、2-
12、OR
13、2=36-（x+y）.又
14、AR
15、=
16、PR
17、=，所以有（x1-4）
18、2+y=36-（x+y）.即x+y-4x1-10=0.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程x+y-4x1-10=0，得-4·-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.1.已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足
19、
20、·
21、
22、+·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,∵
23、
24、·
25、
26、+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得y2=-8x.2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外
27、切，求动圆圆心M的轨迹方程.解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
28、MC1
29、-
30、AC1
31、=
32、MA
33、，
34、MC2
35、-
36、BC2
37、=
38、MB
39、.因为
40、MA
41、=
42、MB
43、，所以
44、MC2
45、-
46、MC1
47、=
48、BC2
49、-
50、AC1
51、=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1(x≤-1).3.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P
52、在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴，即.∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+y=0.∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是.答案y2=8x2.已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足
53、PA
54、=2
55、PB
56、，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.答案43.长
57、为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，=2，则点C的轨迹是（写出形状即可）.答案椭圆4.平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足=+（O为原点），其中，∈R，且+=1，则点C的轨迹是（写出形状即可）.答案直线5.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（写出形状即可）.答案圆6.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（
58、写出形状即可）.答案椭圆7.已知△ABC的顶点B（0，0），C（5
