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时间:2021-01-29
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1、广西工业职业技术学院教案首页顺序号()课程名称数学模型系、部教研室主讲教师职称授课班级及时间授课方式理论课()习题课()实践课()教学手段常规()多媒体()语音室()本次课教学标题和提纲2.双层玻璃的功效一、问题提出二、问题分析三、模型假设四、符号说明五、模型建立六、模型求解七、模型分析八、模型应用本次课教学重点、难点重点:建立数学模型说明双层窗比单层窗能有效减少热量的流失难点:建立热量流失的数学模型布置作业课后记注:教案按两学时为单元填写,每次授课均应编写一份教案。2.双层玻璃的功效一、问题提出冬天
2、,北方室外温度低,室内供暖以便生活工作,为了保暖,即减少室内向室外的热量流失,从而节约能源,常将单层玻璃窗改为双层玻璃窗,即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气,如下图2.1所示。试建立数学模型说明,当建筑物室内外的热传递处于一个热力学平衡状态时,双层玻璃窗比单层玻璃窗更能有效地减少热量的流失,并问两层玻璃之间的距离多少为好?室内T1室外T2室内T1室外T2图2.1图2.2二、问题分析1.热力学的相关知识为了解决这个问题,首先应想到这是一个属于哪个领域里的问题?应涉及哪些数学知识和相关领域里的
3、知识?此属于热力学的问题,涉及到热传导的理论。由热力学知道,热量的传递主要有三种方式:热传导、热对流和热辐射。热传导:温度高的物体通过接触将热量传递给温度低的物体的热传递方式,例如汽车发动机的散热。热传导方式局限于固体和液体,气体之间能量的传递称为热扩散。 热传导的基本公式为“”。其中是传导的热量;为材料的热传导系数,是两物体的接触面积,是两端的温度差,是两端的距离。因此,从公式我们就可以发现,热量传递的大小同热传导系数、热传热面积成正比,同距离成反比。热对流:流体(气体或液体)与温度高的固体的表面
4、接触,流动的流体从固体表面将热带走的热传递方式。例如电脑机箱的散热。 热对流的公式为“”。其中是热量,也就是热对流所带走的热量;为热对流系数,则代表热对流的有效接触面积;代表固体表面与区域流体之间的温度差。可以看出,在热对流传递中,热量传递的数量同热对流系数、有效接触面积和温度差成正比关系;热对流系数越高、有效接触面积越大、温度差越高,所能带走的热量也就越多。热辐射:热辐射是一种可以在没有任何介质的情况下,不需要接触,就能够发生热交换(将热能从热源向外界发散出去)的传递方式,热辐射是以波的形式进行热
5、交换。例如太阳辐射。这三种散热方式都不是孤立的,在日常的热量传递中,这三种散热方式一般都是同时发生,共同发挥作用的。为简便起见,这里只考虑热传导。2.热传导平衡的含义为了比较单、双层玻璃的保温效果,可只考虑室内、外温度衡定的情况。这时,热量流经空间的每一点处的温度都是衡定的,热量的流动呈稳定状态,即稳流,就像水在管子里流动一样不会堆积。图2.3图2.43.热传导过程中的温度分布图图2.3为室内温度为、室外温度为时单层玻璃的温度分布图。图2.4为室内温度为、室外温度为时,双层玻璃的温度分布图。4.所要解
6、决的问题双层玻璃的保温功效是显然的,如果不建立数学模型,就无法定量地说清楚。这个问题的已知条件是室内温度高于室外温度,室内外有温度差;热传导处于平衡状态。要解决的问题是:我们要建立一个数学模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失)过程,即将流失的热量写成其他量的函数或表达式。并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图2.2,玻璃厚度为)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果;并分析两层玻璃之间应取多大的距离,效果最佳。三、模型假设1.热量的传播过程只有传导,没有对流
7、,即假定窗户的密封性能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的、干燥的;2.室内温度和室外温度保持不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数;3.玻璃材料均匀,热传导系数是常数。四、符号说明——室内温度——室外温度——单层玻璃厚度——两层玻璃之间的空气厚度——内层玻璃的外侧温度——外层玻璃的内侧温度——热传导系数——热量损失五、模型建立由物理学知道,在上述假设下,热传导过程遵从下面的物理规律:厚度为的均匀介质,两侧温度差为,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位
8、面积的热量与成正比,与成反比,即(1)其中为热传导系数。1.双层玻璃热量流失的数学模型记双层窗内窗玻璃的外侧温度为,外层玻璃的内侧温度为,玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为,由(1)式单位时间单位面积的热量传导(热量流失)为(三次传导的热量相等):(2)由及可得,再代入就可将(2)中、消去,变形可得:(3)2.单层玻璃热量流失的数学模型对于厚度为的单层玻璃窗户,容易写出热量流失为(只有一次传导):(4)3.双层玻璃窗和单层玻璃窗热量流失的比较模型比较
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