奥赛作业 2013.4.23

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1、奥赛作业2013.4.23一、选择题（本题满分40分，每小题5分）1、已知：和：．则是的（）.A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是（）.A、B、C、D、3、设正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱与底面所成的角的大小是（）.A、B、C、D、4、已知函数的最小值是0，则非零实数的值是（）.A、B、C、2D、45、长方体的八个顶点都在球的球面上，其中，，，则经过两点的球面距离是（）.A、B、C、D、6、对任意实数，过函数图象上的点的切线恒过一定点，则点的

2、坐标为（）.A、B、C、D、7、设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（）.A、B、C、D、8、记，则的最小值是（）.A、B、C、D、4二、填空题（本题满分20分，每小题5分）9、是定义在上的奇函数，且，则．10、实数满足，则的最大值是．11、在数列中，，当时，成等比数列，则．12、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是．（用具体数字作答）奥赛作业2013.4.2313、已知函数．（1）试判断函数的奇偶性，并给出证明；（2）求在上的最小值与最大值．14、已知为抛物线的焦

3、点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为．（1）求的值；（2）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．15、已知函数，其中为实数．（1）求函数的单调区间；（2）若对一切的实数，有成立，其中为的导函数．求实数的取值范围．16、已知是数列的前项的和，对任意的正整数，都有成立，其中．（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求实数的取值范围．解答1、C提示：因为，故是的充要条件．故选C．2、C提示：数学期望是：．故选C.3、A提示：设顶点在底面的射影是，则为的外心．从而，于是可得．故选A．4、B提示：，因为，故.当时，，不

4、合题意；当时，，由条件知，解得或0（舍去）．故选B.5、C提示：球的半径，在中，，则，从而．所以，经过两点的球面距离是．故选C．6、B提示：因为，故．于是过的切线方程是：，即，因此切线方程恒过．故选B．7、D提示：由题设知∠OPA2=90°，设P(x,y)(x>0)，以OA2为直径的圆方程为，与椭圆方程联立得．由题设知，要求此方程在(0,a)上有实根．由此得化简得，所以e的取值范围为．故选D．8、C提示：设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离，当时等号成立．故的最小值为．故选C．9、0提示：由条件知，，于是，即是以2为周期的周期函数．所以，．故填0．10

5、、4提示：由确定的图形是以四边形及其内部，其中、、、．由线性规划知识知，的最大值是4，当时可取到．故填4．11、提示：由条件知当时，，从而，于是，所以．于是.所以，．故填．12、224提示：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，，，，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是：．故填224．.13、（I），.所以，为偶函数．（II）.因为，故，所以，当时，有最小值；当时，有最大值．14、（I）由条件知，设、、、，不妨设．直线的方程为，与联立得，所以，．①当时，则，故，，即．直线的方程为，从而；直线的方程为：，与联立得，得，，即．于是，．所以．．②当时

6、，直线AM方程为与抛物线方程.联立得，又由，化简上述方程得.此方程有一根为x1，所以另一根，．即，同理，．所以，即．由①、②可知．（II），故．所以，直线AB与直线CD夹角θ的取值范围是．15、（I）因为，，所以有两个不等实根：，，显然．当时，，即单调递减；当或时，，即单调递增；综上所述，有的单调递减区间为：，；单调递增区间为：、．（II）由条件有：.①当时，，即在时恒成立.因为，当时等号成立．所以，即.②当时，，即在时恒成立，因为，当时等号成立．所以，即.③当时，．综上所述，实数的取值范围是．16、（I）当时，有，故．当时，及.于是，即①若，则，于是.从而，所以，.②若，则于是从而所以，综

7、上所述，（II）若时，，显然不满足条件，故．当时，．若时，，故当时，，不符合条件，舍去．①若时，，，故从而为单调递减数列，且．所以，只须即可，显然成立．故符合条件；②若时，，显然也满足条件．故符合条件；③若时，，，从而为单调递增数列，因为．故，要使成立，只须即可．于是．故符合条件．综上所述，所求的实数的范围是．