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《高中数学《任意角的三角函数-三角问题》文字素材3苏教版必修4.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数形结合思想三角问题中的妙用解答某些三角问题时，如能依据题设条件及所给式子的结构特征，适时构设单位圆，数形结合，可使这些问题简捷、明快地获解。现举例解析如下：例1：求sin200sin400的值。cos200cos400A(cos200,sin200),B(cos400,sin400)在此单解析：构设如图1所示的单位圆，显然点位圆上，设线段AB的中点为M(a,b)，连OM，则OM垂直平分AB，注意到MOxAOx1AOB200100300，所以kOMtan3001，而23kABsin2000，所以由kABkOM1可得kAB13，即sin200sin4003。0sin40000cos2
2、0cos40kOMcos20cos40yBMAOx(1)yPOxA(-2,0)Q(2)例2：求函数f(x)sinx的值域。cosx22M(cosx,sinx)是单位圆上任意一点，点解析：构设如图所示的单位圆，显然点A(2,0)是单位圆外的一定点，则kMAsinx，设P,Q为过A的动直线l与单位圆cosx2相切的两切点，显然有POAQOA300，所以kAQkMAkAP，而kAQtan(300)3,kAPtan3003，所以3kMA3，即所求函数的值域为3333[3,3]。33例3：已知sinsin1,coscos1，求tan()的值。23用心爱心专心1解析：构设如图3所示的单位圆，显
3、然点A(cos,sin),B(cos,sin)均在此单位圆上，设线段AB的中点为M(a,b)，连OM，则OM垂直平分AB，不妨假设，并1AOB，所以kOMtanMOxtan，而注意到MOxAOx222acoscos1,bsinsin1，所以由三角函数的定义可得：kOMb2，即2426a3tan2，所以tan(2tan212。2)3125tan2例4：设,是方程asinxbcosxc0(ab0)的两不等的实根，求tan()。解析：构设如图4所示的单位圆，显然点P(cosx,sinx)是该单位圆上任意一点，则A(cos,sin),B(cos,sin)是直线l:aubvc0(ab0)与单
4、位圆u2v21的两交点，设线段AB的中点为M(m,n)，连OM，则OM垂直平分AB，不妨假设，并注意到MOx1AOB，所以kOMtan，而kABbAOx，所以由222akABkOM1可得：tana，tan(2tan22ab。)2b2a2b21tan2yyAAMMBBOxOx(3)(4)通过以上几例的解析可以看出：解答某些三角问题时，如能构设出单位圆，数形结合，不仅能使这些问题的解答简捷明快，而且还能使这些问题的解答独辟蹊径，强化数形结合的意识。三角函数线的应用例举用心爱心专心2以原点为圆心、半径为1的圆称为单位圆，它与x轴正半轴的交点是A（1，0）。设角α的终边与单位圆交于点P，过
5、P作PM⊥x轴于M。再过A点作单位圆的切线交角α的终边（或终边的反向延长线）于T。右边的四个图中分别讨论了角α的终边在第一、二、三、四的情形。由于sinα=MP，cosα=OM，tanαyα的终TPOMAx=AT，我们把有向线段yyMP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，它们统称T为三角函数线。关于三角函数线，要MOxOMA注意以下几点：Ax（1）正弦线、余弦线、PP正切线都是有向线段，利α的终Tα的终用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x
6、轴上，向右为正，向左为负。（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。（4）当02时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。以下通过事例来谈谈三角函数线的应用。例1．比较下列两个值的大小：（1）sin7900与sin(-1900)；（2）cos880与cos(-4600)；（3）tan(-3
7、400)与tan2500。分析：先在00到3600的范围内找出与这些角终边相同的角，确定终边y的位置，再借助于正弦线、余弦线、正切线的长度及方向来比较同名三角函数值的大小。解：（1）sin7900sin(23600700)sin700，700P10000，1700P2sin(190)sin(360170)sin170由图知，正弦线M1P1与M2P2均为正，M1P1>M2P2，M2OM1xy∴sin700sin1700，即sin7900>sin(-1900)。1600
