高中数学《任意角的三角函数-数线解题》文字素材6 苏教版必修4.doc

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1、活用三角函数线解题三角函数线是学习三角函数的图象与性质的基础，同时，它也是三角函数中，数形结合思想的重要体现，正确理解和熟练掌握三角函数线，能帮助我们快速、高效的解决相关问题.1.求值问题例1．⑴已知，求.　　　⑵已知，求.解：⑴画出单位圆，如图１，找到正弦线为且在的角和，所以或　　．⑵画出单位圆，如图２，找到余弦线为且在的角和，所以或　　．2.解不等式例２．解关于的不等式：⑴　　⑵解：⑴画出单位圆，如图３，找到正切线为且在的角和，所以角的终边落在图３中的阴影部分，因此，不等式的解集是．⑵画出单位圆，如图４，找到正弦线为且在的角和5用心爱心专心，正弦线为且在的角和，所以角的终

2、边落在图４中的阴影部分，因此不等式的解集是：．3.证明等式或不等式例３．求证：证明：⑴当的终边在坐标轴上时，显然成立⑵当的终边不在坐标轴上时，画出单位圆，作出角的正弦线和余弦线（见图５）在中，，，，综合⑴，⑵得．5用心爱心专心例４．若，求证：．证明：画出单位圆，作出角的正弦线和正切线（见图６）．在中，，在中，，又弧长，由图易得，，，即．总之，在三角中，只要有三角函数值与角度的关系出现，我们就可以考虑用三角函数线来帮助解决.利用三角函数线解题三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数

3、值的变化规律．要深入理解应用单位圆求解三角不等式的方法的实质，培养数形结合的意识．三角函数线的主要作用是求函数的定义域、解不等式、证明简单三角不等式等．1．求解定义域例1　求下列定义域：（1）；（2）分析：首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出满足条件的角的终边范围．解：（1）如图1所示．∵，∴．∴．故所求定义域为．（2）如图2所示．∵，∴，∴，∴，即．5用心爱心专心故所求定义域为．评注：三角函数线使得代数中的三角函数和几何中的有向线段有机地联系在一起，这种联系使得三角学和几何学都得到了发展，同时也为用几何法解决代数问题，代数法（三角代换）解决几何问题提供

4、了可能．2．解不等式例2　若，则x的取值范围是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．分析：由．本题就是求正弦线比余弦线长的所有的角的集合．解：∵，∴．当，即时，角x的终边在一、三象限角平分线和二、四象限的角平分线上．当时，x的范围是图3阴影部分所表示的范围．∴所求满足条件的x的集合是即．故选（D）．评注：本题还可以用赋值法，通过给角取不同值进行分析而得出正确结果，但利用三角函数线形象直观，结果一目了然．3．证明简单三角不等式例3　已知为锐角，求证：．分析：观察分析要证明的目标，是线段的比值，又因为不等式的右边是的关系式．由此联想到弧长或扇形面积公式（都与有关）．解：设角的终边与单位圆交于，

5、（如图4）过作垂直于x轴，垂直于y轴，为垂足．∵，，在中，，∴．5用心爱心专心又∵，，，而，∴，即．∴．评注：①利用单位圆把三角函数值转化为单位圆中某些线段；②利用整体面积大于部分面积证明三角函数的不等关系是证明这类问题的常用方法．5用心爱心专心