高中数学《导数在研究函数中的应用》同步练习4新人教A版选修2-2.docx

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1、导数及其应用高考题第1题.2007海南、宁夏文)设函数f(x)ln(2x3)x2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）求f(x)在区间314，的最大值和最小值．4答案：解：f(x)的定义域为3，．2（Ⅰ）f22x4x26x22(2x1)(x1)(x)32x32x3．2x3x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1当2时，f(x)0．22从而，f(x)分别在区间3，1，1，单调增加，在区间，1单调减少．2212（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间31的最小值为f11．4，ln2442又f3139ln71ln311490．4fln162167221l

2、n429所以f(x)在区间3111ln7．4，的最大值为f416241第2题.（2002海南、宁夏理）曲线yx在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的e2面积为（）Ａ．9e2Ｂ．4e2Ｃ．2e2Ｄ．e22答案：Ｄ第3题.（2007海南、宁夏理）设函数f(x)ln(xa)x2．（I）若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne．2答案：解：（Ⅰ）f12x，(x)ax用心爱心专心1依题意有f(1)30，故a．2从而f(x)2x23x1(2x1)(x1)．

3、x332x2f(x)的定义域为3，．当3x1时，f(x)0；22当1x1时，f(x)0；21当x0．时，f(x)2从而，f(x)分别在区间3，1，1，单调增加，在区间，1单调减少．2212（Ⅱ）f(x)的定义域为(a，)，f(x)2x22ax1．xa方程2x22ax10的判别式4a28．（ⅰ）若0，即2a2，在f(x)的定义域内f(x)0，故f(x)无极值．（ⅱ）若0，则a2或a2．若a2，x(2，)，f(x)(2x1)2．x2当x2(x)0，当x，22，时，f(x)0，所以f(x)2时，f222无极值．若a2，x(2，)，f(x)(2x1)2

4、0，f(x)也无极值．x2（ⅲ）若0，即a2或a2，则2x22ax10有两个不同的实根x1aa22，x2aa22．22当a2时，x1a，x2a，从而f(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．用心爱心专心2当a2时，xa，xa，f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，12由极值判别方法知f(x)在xx1，xx2取得极值．综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，)．f(x)的极值之和为f(x1)f(x2)ln(x1a)x12ln(x2a)x22ln1a211ln2lne．22第4题.（2007湖南理）函数f(x)12xx3

5、在区间[3，3]上的最小值是．答案：16第5题.(2007湖南文)已知函数f(x)1x31ax2bx在区间[11)，，(13]，内各有一个32极值点．（I）求a24b的最大值；（II）当a24b8时，设函数yf(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数yf(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线yf(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．答案：解：（I）因为函数f(x)1x31ax2bx在区间[11)，，(13]，内分别有一个极值32点，所以f(x)x2axb0在[11)，，(13]，内分别有一个

6、实根，设两实根为x1，x2（x1x2），则x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是0a24b≤4，0a24b≤16，且当x11，x23，即a2，b3时等号成立．故a24b的最大值是16．（II）解法一：由f(1)1ab知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是yf(1)f(1)(x1)，即y(1a21b)xa，32因为切线l在点A(1，f(1))处穿过yf(x)的图象，所以g(x)f(x)[(1ab)x21a]在x1两边附近的函数值异号，则32x1不是g(x)的极值点．用心爱心专心3而g(x)1x31ax2bx(1ab)x21a，且323

7、2g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)．若11a，则x1和x1a都是g(x)的极值点．所以11a，即a2．又由a24b8，得b1．故f(x)1x3x2x．21a]3解法二：同解法一得g(x)f(x)[(1ab)x321(x1)[x2(13a)x(23a)]．322因为切线l在点A(1，f(1))处穿过yf(x)的图象，所以g(x)在x1两边附近的函数值异号．于是存在m1，m2（m11m2）．当m1x1时，g(x)0，当1xm2时，g(x)0；或当m1x1时，g(x)0，当1xm2时，g(x)0．设h(x)x213ax23a

8、，则22当m1x1时，h(x)0，当1xm2时，h(x)0；或当m1x1时，h(x)0，当1xm2时，h(x)0．由h(1)0知x1是h(x)的一个极