《导数在研究函数中的应用》学案4（新人教A版选修2-2）

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1、1.1.3导数的几何意义【学习目标】1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；【学习重难点】重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；难点：导数的几何意义.【学习过程】一、学前准备1：曲线上P（s）恥+山，Ji+3）的连线称为曲线的割线，斜率k=乞=Ar2：设函数y=f（x）在观附近有定义，当自变量在x=附近改变心时，函数值也相应地改变△）=,如果当山时，平均变化率趋近于一个常'数/,则数/称为函数/任）在点兀的瞬吋变化率.记作:当2时，T/二、合作探究：探究1.曲线的切线及

2、切线的斜率：参见课本图1.1-2,当亿（£,/（£））（“1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀,/（兀））时，割线卩出的变化趋势是什么？我们发现,当点人沿着曲线无限接近点P即Ax->0时，割线P税趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：（1）割线比的斜率心与切线M的斜率£有什么关系？（2）切线PF的斜率R为多少？容易知道，割线的斜率是,当点鬥沿着曲线无限接近点P时，klt=fw无限趋近于切线PT的斜率4B

3、jk=lim/^o-*-Ax)-/(xo)山toAr点拨：（1）设切线的倾斜角为a,那么当Ax-o时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处

4、的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在”=兀处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个•多个.探究2.导数的几何意义：函数円（兀）在尸兀。处的导数等于在该点（x0JU））处的切线的斜率，即广（）訥空斗土如*0MTO心点拨：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P点的坐标；②求出函数在点观处的导数（变化率）门石二恤/此+心）7心

5、*，得到&T0心曲线在点（x0,/（x0））的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.探究3：导函数由函数夬兀）在X=Xo处求导数的过程可以看到，当X=Xo时,/z（x0）是一个确定的数，这样,当兀变化时，广（无）便是兀的一个函数,我们叫它为心）的导函数.记作：.厂⑴或y'，职=y=iimmtoAx注意：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.探究4：函数/（兀）在点兀。处的导数广（观）、导函数/©）、导数之间的区別与联系（1）函数在一点处的导数厂（勺），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数

6、f（x）的导函数，函数f（x）的导函数是由函数/U)经过lim/(兀+心)一几对变换得到的；此函数的名字心toAr就叫广⑴或y(3)函数/(兀)在点如处的导数f(兀。)就是导函数.厂(尢)在x=x0处的函数值，这也是求函数在点心处的导数的方法么一。【学习检测】1.(A)已知曲线y=2x2±.一点，则点4(2,8)处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.22.(A)曲线,v=2x2+1在点P(-1,3)处的切线方程为()A-y=-4x-1B.y=-4x-7C・y=4x-1D・y=4x+73.(A)/(x)在x=x0可导，则lim/(兀+")一/(心)()iohA.与x()、力都

7、有关B・仅与x()有关而与力无关C・仅与力有关而与兀°无关D.与竝、〃都无关4.(B)若函数/⑴在观处的导数存在，贝I」它所对应的曲线在点(x0,/(x0))的切线方程为5・(B)己知函数y=f(x)在*如处的导数为11,则lim/(兀。-心)一/(兀。)_心toAr6(B)求曲线y=在点(4,2)处的切线.(2)平行于第一象限角的平分线7.(C)在抛物线y=2+x-/上，哪一点的切线处于下述位置?(1)与x轴平行8.(D)在抛物线y=x2±依次取M(1,1),TV(3,9)两点，作过这两点的割线,问:抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.【小结与反思】