考点8 数列的综合应用

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1、世纪金榜圆你梦想温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点8数列的综合应用1.（2010·湖北高考理科·Ｔ7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则（）A．B.C.D.【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与

2、其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从小到大的顺序排列构造一个等比数列，由公比知【规范解答】选C，设正六边形第n个内切圆的半径为，面积为，则，从而=，由，，知是首项为，公比为的等比数列。所以==4.【方法技巧】对于等比数列，若公比，则其前n项和当n趋向于正无穷大时极限存在且。2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在行n列矩阵-18-世纪金榜圆你梦想中，记位于第行第列的数为．当时，．【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时对应的数，再求解．【规范解答】45．当时，1+3+5+7+

3、+9+2+4+6+8=45.【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．3.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列满足:,,；数列满足：=（n≥1）.(Ⅰ)求数列，的通项公式;(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列满足：，先求的通项公式，再求的通项公式，最后求的通项公式。(Ⅱ)用反证法证明。【规范解答】(Ⅰ)由题意可知：，令，则，又，所以数列是以为首项

4、，为公比的等比数列，即，故。又>0，，故，==。(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列存在三项，，按某种顺序构成等差数列，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，于是一定有，则只能有成立，即：，两边同乘以可得：，由于-18-世纪金榜圆你梦想，所以上式左边为偶数，右边为奇数，从而上式不可能成立，导致矛盾。故数列中的任意三项不可能成等差数列。【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式。4.（2010·重庆高考理科·Ｔ21）在数列中，=1，

5、，其中实数。（1）求的通项公式；（2）若对一切有，求的取值范围。【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.【思路点拨】（1）先求出数列的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明；（2）对恒成立问题进行等价转化，【规范解答】（1）【方法1】：由，，，，猜测（），下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立；假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，综上可知，对任何都成立.【方法2】：由原式，令，则，，因此对有-18-世纪金榜圆你梦想因此，，。又当n

6、=1时上式成立。因此，，。（2）【方法1】：由，得因，所以解此不等式得：对一切，有或，其中易知（因为的分子、分母的最高次项都是2，且系数都是8，所以极限值是）；用放缩法得：，所以，因此由对一切成立得；又，易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得：，从而c的取值范围为.【方法2】：由，得，因，所以对恒成立.记，下分三种情况讨论。（i）当即或时，代入验证可知只有满足要求-18-世纪金榜圆你梦想（ii）当时，抛物线开口向下，因此当正整数k充分大时，，不符合题意，此时无解。（iii）当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左侧，因此，在上是增函

7、数。所以要使对恒成立，只需即可。由解得或结合或得或综合以上三种情况，的取值范围为.【方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用.5.（2010·重庆高考文科·Ｔ16）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前n项和.（1）求通项公式及；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n项和【命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查等差数列、等

8、比数列的前项和公式及其应用，考查运算求解的能力，考查化归与转化的思想.【思路点拨】（1）直接套用等差数列的通项公式和前项和