第九章_非線性偏微分方程.doc

《第九章_非線性偏微分方程.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第九章非线性偏微分方程前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。§9.1极小曲面问题在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实

2、。设是平面上有界区域，它的边界是充分光滑的，其方程为：其中即是一条闭曲线。现在在上给定一条空间曲线（即作一条空间曲线，使它到所在平面的投影为）：（9.1）这里。所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在上的曲面，使得（1）以为周界；（2）的表面积在所有以为周界的曲面中是最小的。假定空间曲面的方程为则由微积分学可知，这个曲面的表面积为（9.2）于是上述极小曲面问题就变成求一个函数，使得（1）由所表示的曲面以为周界，即，或者说，，其中由（8.7）给出；（2）（9.3）这是一个变分问题。如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若是（9.3）的解，那么必需满足什么样的条件。为此，在任取一个

3、元素，即任取，即。对任意，记（9.4）其中由（9.2）确定，从（9.2）可知是定义在上的一个可微函数，由于是（9.3）的解，所以对任意处取得最小值，故（9.5）不难看出代入（9.5）得假若具有更好的光滑性，例如，由格林公式可得由于，即，因此上式左端第二项为零，再由的任意性及被积函数的连续性可知（9.6）这个方程称为变分问题（9.3）的Euler方程。上面的推导说明，如果是（9.3）的解，且，则必满足（9.6），当然还满足边界条件（9.7）因此定义在上且以空间曲线为周界的极小曲面必定在内适合方程（9.6）和在上满足边界条件（9.7）。方程（9.6）可以改写成（9.8）这个方程通常称为

4、极小曲面方程。它有什么特点？它关于二阶导数及是线性的，但它们前面的系数分别含有，及，所以对，来说它不是线性关系，特别是，如果把，，及同等看待，这个方程对它们不少线性方程，故它是一个非线性方程。§9.2非线性偏微分方程举例在上一节内，我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程（9.8），其实，在力学、物理学及几何学中都有大量的非线性偏微分方程。例如，在热传导问题（第一章第一节例4）中，如果热传导系数不是常数，而是温度的函数，则三维热传导方程为（9.9）这也是一个非线性方程。在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的Navier-Stokes方程，其形式为（连续性方程）（动量方

5、程）（能量方程）其中（9.11）这里是流体密度，是流速，是温度，、是粘性系数，是传热系数，是压强，是定压比热，是气体常数，表示粘滞力的张量，是Kronecker记号，即当流体为不可压缩时，是长和数；又若不计温度的变化，这（9.10）化为不可压缩流体的Navier-Stockes方程（9.12）取，并利用（9.11），这上述方程组为（9.13）这是关于的非线性方程组。在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得（9.14）在微分几何中，若要求出中曲率为已知的曲面时，就需要求解下列方程：（9.15）其中。这个方程称为蒙日－安培尔（Monge-

6、Ampere）方程。上面我们已经从不同的问题引入了一些非线性方程或方程组，现在再对它们作一些比较。方程（9.14）中的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性得，它的非线性只出现在函数及其一阶导数项，这样的方程称为半线性方程，方程组（9.13）也是半线性的；方程（9.8）对最高阶导数（二阶导数项）来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数（那里是一阶导数），这样的方程称为拟线性的；方程（9.15）的特点是对最高阶导数（二阶导数）也是非线性的，这样的方程称为完全非线性（或真正非线性）方程。显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低，拟线性方程的非线

7、性程度介于两者之间。对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式，只能求其近似解。但对一些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程，或者经过适当的数学处理化成可以求解的方程，下面举例说明。例1在流体力学中有一个很重要的比尔吉斯（Burgers）方程（9.16）这是一个二阶偏微分方程，为了解这个方程，令，再对积分一次可得再令则得这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第二、三中的方法求出它的解，有了之后可以求出。例2在微分几何中遇到如下L